Quais são as diferenças conceituais entre o método dos elementos finitos e dos volumes finitos?

Elemento Finito: integrais volumétricos, ordem polinomial interna

Os métodos clássicos de elementos finitos assumem e espaços de aproximação contínuos ou fracamente contínuos e solicitam que as integrais volumétricas da forma fraca sejam satisfeitas. A ordem de precisão é aumentada aumentando a ordem de aproximação dentro dos elementos. Os métodos não são exatamente conservadores, portanto, muitas vezes lutam com a estabilidade para processos descontínuos.

Volume Finito: integrais de superfície, fluxos de dados descontínuos, ordem de reconstrução

Os métodos de volume finito usam aproximação constante por partes espaços e pedir integrais contra funções de teste constantes por partes a serem satisfeitas. Isso produz declarações de conservação exatas. A integral de volume é convertida em uma integral de superfície e toda a física é especificada em termos de fluxos nessas integrais de superfície. Para problemas hiperbólicos de primeira ordem, esta é uma solução de Riemann. Fluxos de segunda ordem / elípticos são mais sutis. A ordem de precisão é aumentada usando vizinhos para (conservadoramente) reconstruir representações de ordem superior do estado dentro dos elementos (reconstrução / limitação de declive) ou reconstruindo fluxos (limitação de fluxo). O processo de reconstrução é geralmente não linear para controlar oscilações em torno de características descontínuas da solução, veja métodos de diminuição total da variação (TVD) e métodos essencialmente não oscilatórios (ENO / WENO). Uma discretização não linear é necessária para obter simultaneamente precisão superior à de primeira ordem em regiões suaves e variação total limitada entre descontinuidades, consulte teorema de Godunov .

Comentários

Ambos FE e FV são fáceis de definir com precisão de até segunda ordem em grades não estruturadas. FE é mais fácil de ir além de segunda ordem em grades não estruturadas. FV lida com malhas não conformes com mais facilidade e robustez .

Combinando FE e FV

Os métodos podem ser casados de várias maneiras. Os métodos de Galerkin descontínuos são métodos de elementos finitos que usam funções de base descontínuas, adquirindo assim solvers de Riemann e mais robustez para descontínuos (especialmente hiperbólico). Os métodos DG podem ser usados com limitadores não lineares (geralmente com alguma redução na precisão), mas satisfazem uma desigualdade de entropia em nível de célula sem limitação e podem, portanto, ser usados sem limitação para alguns problemas onde outros esquemas requerem limitadores. ( Isso é especi Altamente útil para otimização baseada em adjunto, uma vez que torna o adjunto discreto mais representativo das equações adjuntas contínuas.) Os métodos FE mistos para problemas elípticos usam funções de base descontínuas e, após algumas opções de quadratura, podem ser reinterpretados como métodos de volume finito padrão, consulte esta resposta para mais. Os métodos de reconstrução DG (também conhecidos como $ P_N P_M $ ou “Recuperação DG”) usam reconstrução conservativa semelhante a FV e enriquecimento de ordem interna e são, portanto, um superconjunto dos métodos FV e DG.

As diferenças conceituais de FEM e FVM são tão sutis quanto as diferenças entre uma árvore e um pinheiro.

Se você comparar um determinado esquema de FEM Para a discretização FVM aplicada a um problema particular, então você pode falar de diferenças fundamentais que se tornam evidentes em diferentes abordagens de implementação e diferentes propriedades de aproximação (como @Jed Brown explicou em sua resposta).

Mas, em geral, eu diria que FVM é um caso especial de FEM, usando uma grade de células e funções de teste constantes por partes. Essa relação também é usada para análise de convergência de FVM, pois pode ser encontrada no livro de Grossmann, Roos & Stynes: Tratamento numérico de equações diferenciais parciais .

A diferença básica é simplesmente o significado para ser anexado aos resultados. O FDM prevê valores de pontos de qualquer aspecto da solução. A interpolação entre esses valores costuma ser deixada para a imaginação do usuário. FVM prevê médias de variáveis conservadas dentro de volumes de controle específicos. Portanto, ele prevê as variáveis conservadas integradas e pode ser mostrado que converge para soluções fracas (descontínuas). O FEM fornece um conjunto de valores discretos dos quais uma solução aproximada pode ser deduzida sem ambigüidade em qualquer lugar, invocando um conjunto de funções básicas. Normalmente, mas não necessariamente, as variáveis envolvidas são conservadoras. É possível ter métodos de diferenças finitas que são conservadores em algum sentido, de acordo com uma regra de quadratura particular.

Essas são questões de definição. Existem muitas variações dos três métodos. Nem todo método é totalmente de um tipo, e os detalhes variam entre as áreas de aplicação. Os pesquisadores que inventam um novo método empregam essas ferramentas que ajudarão a fornecer as propriedades que procuram. Como você parece ter descoberto, é difícil encontrar uma discussão confiável e seria difícil para mim fornecer uma. O melhor conselho que posso dar é continuar lendo, sem esperar uma resposta totalmente clara, mas dando crédito às coisas que fazem sentido para você.