Determinați $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Înțeleg cum să creez o casetă din [-1,1] de amplitudine 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
soluția pe care o văd spune că $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Nu înțeleg de unde a venit $ \ sin $ din și că valorile celor 2 se corelează cu. Am văzut dovezi, dar poate cineva să ofere o explicație simplă a variabilelor. Mulțumiri
Răspuns
O funcție triunghiulară poate fi generată prin implicarea a două funcții casetă, așa cum se arată mai jos.
De aici provine Pasul 2.
Transformarea fourier a unei convoluții $ g (t) \ ast g (t) $ poate fi calculat prin înmulțirea transformării fourier a $ g (t) $ cu ea însăși, adică $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Amintiți-vă că transformata Fourier a unui funcția casetă este o funcție Sinc ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Prin urmare, $ G (w) $ este o versiune la scară a unei funcții sinc, iar transformata Fourier a funcției triunghiulare este $ G (w) ^ 2 $.
Răspuns
OK, deci înțelegeți că semnalul $ x (t) $ este dat de convoluția a două funcții dreptunghiulare extinzându-se de la -1 $ la 1 $ cu o înălțime de 1/2 $. Singurul lucru care rămâne de făcut este să determinăm transformata Fourier a acestei funcții dreptunghiulare. Puteți face acest lucru foarte ușor aplicând definiția transformatei Fourier:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Sunt sigur că puteți rezolva singură această integrală. funcția sine intră în joc deoarece
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
În cele din urmă, transformata Fourier a lui $ x (t) $ este dată de
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Răspuns
Funcțiile de bază din Transformarea Fourier sunt Sinus și Cosinus. Nu ar trebui să fii cu adevărat surprins că funcția Sin a apărut în analiza unui semnal complex.