Bestäm $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Jag förstår hur man skapar en ruta från [-1,1] med amplituden 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
lösningen jag ser säger att $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Jag förstår inte var $ \ sin $ kom från och att värdena på 2-talet korrelerar med. Jag har sett bevis, men kan någon ge en enkel förklaring till vad variablerna är. Tack
Svar
En triangelfunktion kan genereras genom att sammanföra två rutfunktioner som visas nedan.
Det är här ditt steg 2 kommer ifrån.
Fouriertransformationen av en faltning $ g (t) \ ast g (t) $ kan beräknas genom att multiplicera Fourier-transformationen av $ g (t) $ med sig själv, dvs $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Minns att Fourier-transformationen av en rutfunktion är en Sink-funktion ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Därför är $ G (w) $ någon skalad version av en sinc-funktion, och Fourier-transformationen av den triangulära funktionen är $ G (w) ^ 2 $.
Svar
OK, så du förstår att signalen $ x (t) $ ges av fällningen av två rektangulära funktioner sträcker sig från $ -1 $ till $ 1 $ med en höjd på $ 1/2 $. Det enda som återstår att göra är att bestämma Fourier-transformationen av denna rektangulära funktion. Du kan göra detta mycket enkelt genom att tillämpa definitionen av Fourier-transform:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Jag är säker på att du kan lösa denna integral själv. sinusfunktion spelar in eftersom
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Slutligen ges Fourier-transformationen av $ x (t) $ av
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Svar
Grundfunktionerna i Fourier Transform är Sine och Cosine. Du borde inte bli förvånad över att Sin-funktionen uppträdde i din analys av en komplex signal.