Was sind die konzeptionellen Unterschiede zwischen der Finite-Elemente- und der Finite-Volumen-Methode?

Finite Elemente: Volumenintegrale, interne Polynomordnung

Klassische Finite-Elemente-Methoden setzen voraus e kontinuierliche oder schwach kontinuierliche Approximationsräume und fordern, dass volumetrische Integrale der schwachen Form erfüllt werden. Die Reihenfolge der Genauigkeit wird erhöht, indem die Approximationsreihenfolge innerhalb der Elemente erhöht wird. Die Methoden sind nicht gerade konservativ und haben daher häufig Probleme mit der Stabilität diskontinuierlicher Prozesse.

Endliches Volumen: Oberflächenintegrale, Flüsse aus diskontinuierlichen Daten, Rekonstruktionsreihenfolge

Methoden mit endlichem Volumen verwenden stückweise konstante Approximation Leerzeichen und fordern, dass Integrale gegen stückweise konstante Testfunktionen erfüllt werden. Dies ergibt genaue Erhaltungserklärungen. Das Volumenintegral wird in ein Oberflächenintegral umgewandelt und die gesamte Physik wird in Form von Flüssen in diesen Oberflächenintegralen angegeben. Für hyperbolische Probleme erster Ordnung ist dies eine Riemannsche Lösung. Flüsse zweiter Ordnung / elliptische Flüsse sind subtiler. Die Reihenfolge der Genauigkeit wird erhöht, indem Nachbarn verwendet werden, um (konservativ) Darstellungen des Zustands innerhalb von Elementen höherer Ordnung (Neigungsrekonstruktion / -begrenzung) oder durch Rekonstruktion von Flüssen (Flussbegrenzung) zu rekonstruieren. Der Rekonstruktionsprozess ist normalerweise nichtlinear, um Schwingungen um diskontinuierliche Merkmale der Lösung zu steuern, siehe Methoden zur Verringerung der Gesamtvariation (TVD) und im Wesentlichen nicht oszillierende (ENO / WENO) Methoden. Eine nichtlineare Diskretisierung ist erforderlich, um gleichzeitig eine höhere Genauigkeit als erster Ordnung in glatten Bereichen und eine begrenzte Gesamtvariation über Diskontinuitäten hinweg zu erhalten, siehe Godunovs Theorem .

Kommentare

Sowohl FE als auch FV lassen sich bei unstrukturierten Gittern leicht bis zu einer Genauigkeit zweiter Ordnung definieren. FE ist bei unstrukturierten Gittern leichter über die zweite Ordnung hinauszugehen. FV behandelt fehlerhafte Netze einfacher und robuster

Kombination von FE und FV

Die Methoden können auf verschiedene Arten miteinander verbunden werden. Diskontinuierliche Galerkin-Methoden sind Finite-Elemente-Methoden, die diskontinuierliche Basisfunktionen verwenden, wodurch Riemann-Löser und eine höhere Robustheit für diskontinuierliche Methoden erhalten werden Prozesse (insbesondere hyperbolisch). DG-Methoden können mit nichtlinearen Begrenzern verwendet werden (normalerweise mit einer gewissen Verringerung der Genauigkeit), erfüllen jedoch eine zellweise Entropieungleichung ohne Einschränkung und können daher ohne Einschränkung für einige Probleme verwendet werden, bei denen andere Schemata Begrenzer erfordern. Das ist besonders Dies ist nützlich für die adjungierte Optimierung, da dadurch der diskrete Adjunkt repräsentativer für die kontinuierlichen adjungierten Gleichungen wird.) Gemischte FE-Methoden für elliptische Probleme verwenden diskontinuierliche Basisfunktionen und können nach einigen Quadraturwahlen als Standardmethoden für endliches Volumen neu interpretiert werden, siehe diese Antwort für mehr. Rekonstruktions-DG-Methoden (auch bekannt als $ P_N P_M $ oder „Recovery DG“) verwenden sowohl eine FV-ähnliche konservative Rekonstruktion als auch eine Anreicherung der internen Ordnung und sind daher eine Obermenge der FV- und DG-Methoden.

Die konzeptionellen Unterschiede zwischen FEM und FVM sind so subtil wie die Unterschiede zwischen einem Baum und einer Kiefer.

Wenn Sie ein bestimmtes FEM-Schema vergleichen In Bezug auf die FVM-Diskretisierung, die auf ein bestimmtes Problem angewendet wird, können Sie von grundlegenden Unterschieden sprechen, die sich in unterschiedlichen Implementierungsansätzen und unterschiedlichen Approximationseigenschaften zeigen (wie @Jed Brown in seiner Antwort dargelegt hat).

Aber im Allgemeinen würde ich sagen, dass FVM ein Sonderfall von FEM ist, bei dem ein Gitter von Zellen und stückweise konstante Testfunktionen verwendet werden. Diese Beziehung wird auch für die Konvergenzanalyse von FVM verwendet, wie sie in dem Buch von Grossmann, Roos & Stynes: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen .

Der grundlegende Unterschied ist einfach die Bedeutung an die Ergebnisse angehängt werden. FDM sagt Punktwerte für jeden Aspekt der Lösung voraus. Die Interpolation zwischen diesen Werten bleibt oft der Vorstellungskraft des Benutzers überlassen. FVM sagt Durchschnittswerte konservierter Variablen innerhalb bestimmter Kontrollvolumina voraus. Daher werden die integrierten konservierten Variablen vorhergesagt, und es kann gezeigt werden, dass sie zu schwachen (diskontinuierlichen) Lösungen konvergieren. FEM gibt eine Reihe diskreter Werte an, aus denen durch Aufrufen einer Reihe von Basisfunktionen überall eine ungefähre Lösung eindeutig abgeleitet werden kann. Normalerweise, aber nicht unbedingt, sind die beteiligten Variablen konservativ. Es ist möglich, Finite-Differenzen-Methoden zu haben, die gemäß einer bestimmten Quadraturregel in gewissem Sinne konservativ sind.

Dies sind Definitionsfragen. Es gibt viele Variationen aller drei Methoden. Nicht jede Methode ist sauber von einem Typ, und die Details variieren zwischen den Anwendungsbereichen. Forscher, die eine neue Methode erfinden, setzen jene Werkzeuge ein, die dazu beitragen, die Eigenschaften bereitzustellen, nach denen sie suchen. Es ist, wie Sie anscheinend festgestellt haben, schwierig, eine maßgebliche Diskussion zu finden, und es wäre schwierig für mich, eine zu liefern. Der beste Rat, den ich geben kann, ist, weiterzulesen, ohne eine völlig klare Antwort zu erwarten, aber den Dingen, die für Sie Sinn machen, Glauben zu schenken.