Nach dem Sommerfeld-Modell haben die Elektronen auf der Fermi-Ebene die Beziehung
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
dh $ \ hbar k_F = m_ev_F $ mit $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Aber wie sich herausstellt, ist die berechnete Fermi-Energie für viele höher als der experimentelle Wert Metalle. Die Energieband-Theorie berücksichtigte dies, indem sie $ m_e $ durch $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $ ersetzte. Wenn ich nun die Geschwindigkeit von Elektronen auf der Fermi-Ebene berechnen möchte, muss ich $ m_e $ durch $ m ^ * $ ersetzen? Es scheint so, aber eine (nicht so zuverlässige) Quelle schlug etwas anderes vor. Gibt es eine zugrunde liegende Beziehung, die sich aufhebt und bewirkt, dass die Elektronen auf Fermi-Ebene wie ein nacktes Elektron wirken?
Danke!
Antwort
Beachten Sie, dass das Modell von Sommerfeld einfach die Theorie der Metalle von Drude erallgemeinert unter Berücksichtigung der Tatsache, dass Elektronen Fermionen sind, wird der Pauli-Ausschluss zu einem sehr wichtigen Faktor. In Sommerfelds Modell gibt es keine effektive Masse , über die man sprechen könnte, da man die Atome (Kerne) im System grundsätzlich ignoriert und die freie Bewegung Fermionen . Dort ist Ihre Fermi-Geschwindigkeit also nur gegeben durch: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Bei fortgeschritteneren Modellen wie der engen Bindungskette beginnt man zu nehmen unter Berücksichtigung der periodischen Umgebung des Elektrons, nämlich des periodischen Coulomb-Potentials $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (jetzt in $ \ mathcal {H} aufgenommen) $ des Systems) und mit bestimmten gebildeten Näherungen wird ein LCAO -Ansatz (lineare Kombination von Atomorbitalen) verwendet, um die Schrödinger-Gleichung zu lösen. Wie Sie bereits zu wissen scheinen, ist dieses Ergebnis die berühmte Bandstruktur von Elektronen in Festkörpern, bei der eine energetische Lücke zwischen den Valenz- und Leitungsbändern (Halbleiter, Isolatoren) auftritt. Wann immer der Boden des Bandes (min des Kond-Bandes oder max des Valenzbandes) durch eine Parabel angenähert werden kann, kann die Dispersion als konstanter Teil plus einem quadratischen Term geschrieben werden: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ Mit dieser Näherung kann das Elektron in der engen Bindungskette von Atomen als frei beweglich beschrieben werden, wenn die zugehörige effektive Masse $ m ^ * $ verwendet wird. Beachten Sie, dass der Begriff $ cte $ tatsächlich $ E_c $ oder $ E_v $ ist (nur die Bandenergien, die die Lücke beschreiben).
Wenn Sie im Bandstrukturmodell von einem freien Elektron sprechen, dann ist die effektive Masse ist zu verwenden. Für mehr Intuition, wenn Sie einige der Ableitungen gesehen haben, haben Sie möglicherweise das Sprungmatrixelement $ t $ bemerkt, das beim Auflösen nach den Energieeigenwerten herausspringt, es ist tatsächlich das Hüpfen Stärke (Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron zwischen den Atomen in der Kette springt, im engen Bindungsmodell), die definiert, wie unterschiedlich die effektive Masse $ m ^ * $ des Elektrons von seiner Ruhemasse $ m_e ist. $ In den meisten Fällen “ Es ist einfach umgekehrt proportional $ m ^ * \ propto 1 / t, $ je größer $ t $, desto leichter fühlen sich die Elektronen an.