Existuje zjevný rozdíl mezi metodou konečných rozdílů a metodou konečných objemů (přechod od definice bodu rovnic k integrálním průměrům přes buňky). Ale shledávám FEM a FVM velmi podobné; oba používají integrální formu a průměr nad buňkami.
Co dělá metoda MKP, že FVM není? Četl jsem malé pozadí o MKP. Rozumím tomu, že rovnice jsou psány ve slabé formě, což dává metodě mírně odlišný výrok než FVM. Nerozumím však na koncepční úrovni, jaké jsou rozdíly. Vytváří FEM nějaký předpoklad ohledně toho, jak se neznámé mění uvnitř buňky, nelze to udělat také pomocí FVM?
Jsem většinou vycházející z 1D perspektivy, takže možná má FEM výhody s více než jednou dimenzí?
Nenašel jsem na internetu mnoho dostupných informací o tomto tématu. Wikipedia má sekci o tom, jak se FEM liší od konečného rozdílu metoda, ale to je vše, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Komentáře
- Zde je můj pohled na problém (ke konci): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Podrobně jsem to napsal ve svém blogu Rozdíl mezi MKP, FVM a FDM
Odpověď
Konečný prvek: volumetrické integrály, vnitřní polynomiální řád
Předpoklady klasických metod konečných prvků Spojité nebo slabě spojité aproximační prostory a žádáme o uspokojení objemových integrálů slabé formy. Pořadí přesnosti se zvyšuje zvýšením pořadí aproximace v prvcích. Metody nejsou přesně konzervativní, a proto často bojují se stabilitou diskontinuálních procesů.
Konečný objem: povrchové integrály, toky z nespojitých dat, pořadí rekonstrukcí
Metody konečného objemu používají po částech konstantní aproximaci mezery a požádejte o integrály proti kusovým konstantním testovacím funkcím. To poskytuje přesné prohlášení o zachování. Objemový integrál se převede na povrchový integrál a celá fyzika se specifikuje pomocí toků v těchto povrchových integrálech. U hyperbolických problémů prvního řádu je to Riemannovo řešení. Eliptické toky druhého řádu jsou jemnější. Pořadí přesnosti se zvyšuje použitím sousedů k (konzervativní) rekonstrukci reprezentací stavu uvnitř prvků vyššího řádu (rekonstrukce / omezení sklonu) nebo rekonstrukcí toků (omezení toku). Proces rekonstrukce je obvykle nelineární, aby řídil oscilace kolem nespojitých vlastností řešení, viz metody snižování celkové variace (TVD) a v zásadě neoscilační (ENO / WENO) metody. Nelineární diskretizace je nutná, aby bylo možné současně dosáhnout přesnosti v hladkých oblastech i přesnosti prvního řádu a omezené celkové variace napříč diskontinuitami, viz Godunovova věta .
Komentáře
FE i FV lze snadno definovat s přesností až druhého řádu na nestrukturovaných sítích. FE je snadnější jít nad rámec druhého řádu na nestrukturovaných sítích. FV snáze a robustněji pracuje s nevyhovujícími sítěmi .
Kombinace FE a FV
Metody lze spojit několika způsoby. Diskontinuální Galerkinovy metody jsou metody konečných prvků, které používají diskontinuální bázové funkce, čímž získávají Riemannovy řešitele a větší robustnost pro diskontinuální procesy (zejména hyperbolické). Metody DG lze použít s nelineárními omezovači (obvykle s určitým snížením přesnosti), ale uspokojí celobuněčnou entropickou nerovnost bez omezení a lze je tedy použít bez omezení u některých problémů, kde jiná schémata vyžadují omezovače. ( To jsou especi užitečné pro optimalizaci založenou na adjunktu, protože díky ní je diskrétní adjunkt reprezentativnější pro spojité rovnice adjundu.) Smíšené metody FE pro eliptické problémy využívají diskontinuální bázové funkce a po některých volbách kvadratury lze je interpretovat jako standardní metody konečných objemů, viz tato odpověď a další. Metody rekonstrukce DG (neboli $ P_N P_M $ nebo „Recovery DG“) používají konzervativní rekonstrukci podobnou FV i obohacování vnitřního řádu, a jsou tedy nadmnožinou metod FV a DG.
Odpověď
Koncepční rozdíly FEM a FVM jsou stejně jemné jako rozdíly mezi stromem a borovicí.
Pokud porovnáváte určité schéma FEM k diskretizaci FVM aplikované na konkrétní problém pak můžete hovořit o zásadních rozdílech, které se projevují v různých implementačních přístupech a různých vlastnostech aproximace (jak @Jed Brown uvedl ve své odpovědi).
Ale obecně bych řekl, že FVM je speciální případ MKP, využívající mřížku buněk a po částech konstantní testovací funkce. Tento vztah se také používá pro konvergenční analýzu FVM, jak ji lze najít v knize Grossmann, Roos & Stynes: Numerické zpracování parciálních diferenciálních rovnic .
Odpověď
Základní rozdíl je jednoduše význam připojí se k výsledkům. FDM předpovídá bodové hodnoty jakéhokoli aspektu řešení. Interpolace mezi těmito hodnotami je často ponechána na představivosti uživatele. FVM předpovídá průměry konzervovaných proměnných v rámci konkrétních kontrolních objemů. Proto předpovídá integrované konzervované proměnné a lze u něj prokázat konvergenci k slabým (diskontinuálním) řešením. FEM dává sadu diskrétních hodnot, ze kterých lze jednoznačně odvodit přibližné řešení všude vyvoláním sady základních funkcí. Obvykle, ale ne nutně, jsou použité proměnné konzervativní. Je možné mít metody konečných rozdílů, které jsou v určitém smyslu konzervativní, podle konkrétního kvadraturního pravidla.
Jedná se o definice. Existuje mnoho variant všech tří metod. Ne každá metoda je čistě jednoho typu a podrobnosti se liší mezi aplikačními oblastmi. Vědci, kteří vynalezli novou metodu, používají ty nástroje, které jim pomohou poskytnout vlastnosti, které hledají. Jak se zdá, jste zjistili, je obtížné najít autoritativní diskusi a bylo by pro mě obtížné ji vést. Nejlepší rada, kterou mohu dát, je pokračovat ve čtení, aniž byste očekávali zcela jasnou odpověď, ale abyste věřili věcem, které vám dávají smysl.