Bestem $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Jeg forstår, hvordan man opretter et felt fra [-1,1] med amplitude 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
den løsning, jeg ser, siger, at $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Jeg forstår ikke, hvor $ \ sin $ kom fra og at værdierne af 2erne korrelerer med. Jeg har set bevis, men kan nogen give en simpel forklaring på, hvad variablerne er. Tak
Svar
En trekantet funktion kan genereres ved at sammensætte to boksfunktioner som vist nedenfor.
Det er her dit trin 2 kommer fra.
Fourieretransformationen af en foldning $ g (t) \ ast g (t) $ kan beregnes ved at multiplicere Fourier-transformationen af $ g (t) $ med sig selv, dvs. $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Husk at Fourier-transformationen af en boksfunktion er en Sinc-funktion ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Derfor er $ G (w) $ en skaleret version af en sinc-funktion, og Fourier-transformationen af den trekantede funktion er $ G (w) ^ 2 $.
Svar
OK, så du forstår, at signalet $ x (t) $ gives ved sammenblanding af to rektangulære funktioner strækker sig fra $ -1 $ til $ 1 $ med en højde på $ 1/2 $. Det eneste der er tilbage at gøre er at bestemme Fourier-transformationen af denne rektangulære funktion. Du kan gøre dette meget let ved at anvende definitionen af Fourier-transform:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Jeg er sikker på at du selv kan løse denne integral. sinusfunktion kommer i spil, fordi
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Endelig gives Fourier-transformationen af $ x (t) $ af
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Svar
Grundfunktionerne i Fourier Transform er Sine og Cosine. Du burde ikke virkelig blive overrasket over, at Sin-funktionen dukkede op i din analyse af et komplekst signal. p>