Ifølge Sommerfeld-modellen har elektronerne på Fermi-niveauet forholdet
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
ie $ \ hbar k_F = m_ev_F $ med $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Men som det viser sig, er den beregnede Fermi-energi højere end den eksperimentelle værdi for mange metaller. Energibåndsteorien forklarede dette ved at erstatte $ m_e $ med $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Hvis jeg nu vil beregne hastigheden på elektroner på Fermi-niveau, skal jeg udskifte $ m_e $ med $ m ^ * $? Det ser ud til at være sådan, men en eller anden (ikke så pålidelig) kilde foreslog andet. Er der noget underliggende forhold, der annullerer og får elektronerne på Fermi-niveau til at fungere som en nøgen elektron?
Tak!
Svar
Bemærk, at Sommerfelds model simpelthen generaliserer Drudes teori om metaller ved at tage hensyn til det faktum, at elektroner er fermioner, så Pauli-udelukkelse bliver en meget vigtig faktor. I Sommerfelds model er der ingen effektiv masse at tale om, da man stort set ignorerer atomer (kerner) i systemet og betragter fri bevægelse fermioner . Så der er din Fermi-hastighed bare givet af: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Med mere avancerede modeller, som den tætte bindingskæde, begynder man at tage i betragtning elektronens periodiske miljø, nemlig det periodiske Coulomb potentiale $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (taget nu i $ \ mathcal {H} $ af systemet) og med visse uddannede tilnærmelser anvendes en LCAO (lineær kombination af atomorbitaler) til at løse Schrödinger-ligningen. Som du allerede synes at vide, er dette resultat den berømte båndstruktur af elektroner i faste stoffer, hvor et energisk mellemrum mellem valens- og ledningsbånd vises (halvledere, isolatorer). Når båndets bund (min kondensbånd eller maks. Valensbånd) kan tilnærmes med en parabel, kan dispersionen skrives som en konstant del plus et kvadratisk udtryk: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ med denne tilnærmelse kan elektronen i den tætte bindingskæde af atomer beskrives som frit bevægende, hvis den tilknyttede effektive masse $ m ^ * $ anvendes. Bemærk, at udtrykket $ cte $ faktisk er $ E_c $ eller $ E_v $ (kun båndenergier, der beskriver kløften).
For at opsummere, hvis du “taler om en fri elektron i båndstrukturmodellen, så er effektiv masse skal bruges. For mere intuition, hvis du har set nogle af afledningerne, har du muligvis bemærket hoppematrixelementet $ t $, der springer ud, når du løser for energiens egenværdier, det er faktisk hoppingen styrke (sandsynligheden for, at elektronen hopper mellem atomerne i kæden, i den stramme bindingsmodel), der definerer, hvor forskellig den effektive masse $ m ^ * $ af elektronen er fra dens hvilemasse $ m_e. $ I de fleste tilfælde ” er simpelthen omvendt proportional $ m ^ * \ propto 1 / t, $ jo større $ t $, jo lettere føler elektronerne.