Äärellisen eron ja äärellisen tilavuusmenetelmän välillä on ilmeinen ero (siirtyminen yhtälöiden pistemäärittelystä solujen integraaleihin keskiarvoihin). Mutta mielestäni FEM ja FVM ovat hyvin samanlaisia; ne molemmat käyttävät integraalimuotoa ja keskiarvoa soluihin nähden.
Mitä FEM-menetelmä tekee niin, että FVM ei ole? Olen lukenut vähän taustatietoa FEM: stä. Ymmärrän, että yhtälöt kirjoitetaan heikossa muodossa, mikä antaa menetelmälle hieman erilaisen lausekkeen kuin FVM. En kuitenkaan ymmärrä käsitteellisellä tasolla, mitä eroja on. Tekeekö FEM jonkinlainen oletus siitä, kuinka tuntematon vaihtelee solun sisällä, eikö tätä voida tehdä myös FVM: n kanssa?
Olen enimmäkseen tulossa 1D-näkökulmasta, joten ehkä FEM: llä on etuja useammalla kuin yhdellä ulottuvuudella?
En ole löytänyt paljon tietoa tästä aiheesta verkossa. Wikipediasta löytyy osa siitä, kuinka FEM eroaa rajallisesta erosta menetelmä, mutta siitä on kyse, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
kommentit
- Tässä on oma mielipiteeni asiasta (loppua kohti): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Olen kirjoittanut tämän yksityiskohtaisesti blogiini FEM: n, FVM: n ja FDM: n ero
Vastaus
Äärellinen elementti: volumetriset integraalit, sisäinen polynomijärjestys
Klassisten äärellisten elementtien menetelmät olettavat e jatkuvan tai heikosti jatkuvan approksimaation välilyönnit ja pyydä heikon muodon tilavuusintegraalien täyttymistä. Tarkkuuden järjestystä lisätään nostamalla elementtien sisäistä lähentämisjärjestystä. Menetelmät eivät ole aivan konservatiivisia, joten ne kamppailevat usein epäjatkuvien prosessien vakauden kanssa.
Äärellinen tilavuus: pintaintegraalit, epäjatkuvien tietojen virtaukset, rekonstruointijärjestys
Äärillisissä volyymimenetelmissä käytetään paloittain jatkuvaa approksimaatiota välilyöntejä ja pyydä integraaleja paloittain jatkuvia testitoimintoja vastaan. Tämä antaa tarkat suojelulausekkeet. Tilavuusintegraali muunnetaan pintaintegraaliksi ja koko fysiikka määritellään näiden pintaintegraalien vuon muodossa. Ensimmäisen asteen hyperbolisten ongelmien kohdalla tämä on Riemannin ratkaisu. Toisen kertaluvun / elliptiset vuot ovat hienovaraisempia. Tarkkuuden järjestystä lisätään käyttämällä naapureita (konservatiivisesti) valtion korkeamman tason esitysten rekonstruoimiseksi elementtien sisällä (kaltevuuden rekonstruointi / rajoittaminen) tai rekonstruoimalla vuot (vuon rajoittaminen). Rekonstruktioprosessi on yleensä epälineaarinen ohjaamaan värähtelyjä ratkaisun epäjatkuvien ominaisuuksien ympärillä, katso kokonaisvariaation vähenemisen (TVD) ja olennaisesti ei-oskillaattorimenetelmät (ENO / WENO). Epälineaarinen diskretisointi on välttämätöntä, jotta saadaan samanaikaisesti sekä ensimmäisen asteen korkeampi tarkkuus sileillä alueilla että rajattu kokonaisvaihtelu epäjatkuvuuksien välillä, katso Godunovin lause .
Kommentit
Sekä FE että FV on helppo määrittää toisen asteen tarkkuudella rakentamattomilla ruudukoilla. FE on helpompaa ylittää toisen asteen rakenteettomilla ruudukoilla. FV käsittelee vaatimustenvastaisia verkkoja helpommin ja vankemmin .
FE: n ja FV: n yhdistäminen
Menetelmiä voidaan solmia naimisiin monin tavoin. Jatkumattomat Galerkin-menetelmät ovat rajallisten elementtien menetelmiä, jotka käyttävät epäjatkuvia perustoimintoja, mikä hankkii Riemannin ratkaisijoita ja lisää vankkuutta epäjatkuville DG-menetelmiä voidaan käyttää epälineaaristen rajoitinten kanssa (yleensä pienentämällä tarkkuutta), mutta ne tyydyttävät solukohtaisen entropian epätasa-arvon rajoittamatta ja voidaan siten käyttää rajoittamatta joihinkin ongelmiin, joissa muut järjestelmät vaativat rajoituksia. Tämä on especi liittolainen, joka on hyödyllinen adjointtipohjaisessa optimoinnissa, koska se tekee erillisestä liitoksesta edustavamman jatkuvien liitosyhtälöiden kanssa.) Sekalaiset FE-menetelmät elliptisille ongelmille käyttävät epäjatkuvia perustoimintoja ja joidenkin kvadratuurivalintojen jälkeen voidaan tulkita uudelleen standardeiksi äärellisiksi tilavuusmenetelmiksi, katso tämä vastaus saadaksesi lisätietoja. Jälleenrakentamisen pääosaston menetelmät (alias. $ P_N P_M $ tai ”Palautumisen pääosasto”) käyttävät sekä FV: n kaltaista konservatiivista jälleenrakennusta että sisäisen järjestyksen rikastusta ja ovat siten FV: n ja DG: n menetelmien pääjoukko.
Vastaus
FEM: n ja FVM: n käsitteelliset erot ovat yhtä hienovaraisia kuin puun ja männyn erot.
Jos verrataan tiettyä FEM-mallia tiettyyn ongelmaan sovellettavaan FVM: n diskretisointiin voit puhua perustavanlaatuisista eroista, jotka ilmenevät erilaisissa toteutusmenetelmissä ja erilaisissa lähentämisominaisuuksissa (kuten @Jed Brown on todennut vastauksessaan).
Mutta yleensä sanoisin, että FVM on erityinen FEM-tapaus, jossa käytetään soluruudukkoa ja paloittain vakiotestitoimintoja. Tätä suhdetta käytetään myös FVM: n konvergenssianalyysiin, kuten se löytyy Grossmannin kirjasta, Roos & Stynes: Osittaisten differentiaaliyhtälöiden numeerinen käsittely .
vastaus
Perusero on yksinkertaisesti merkitys liitettävä tuloksiin. FDM ennustaa ratkaisun minkä tahansa aspektin pistearvot. Näiden arvojen interpolointi jätetään usein käyttäjän mielikuvitukselle. FVM ennustaa konservoituneiden muuttujien keskiarvot tietyissä kontrollitilavuuksissa. Siksi se ennustaa integroidut konservoidut muuttujat ja voidaan osoittaa lähenevän heikkoihin (epäjatkuviin) ratkaisuihin. FEM antaa joukon erillisiä arvoja, joista likimääräinen ratkaisu voidaan johtaa yksiselitteisesti kaikkialla käyttämällä joukkoa perustoimintoja. Yleensä, mutta ei välttämättä, mukana olevat muuttujat ovat konservatiivisia. On mahdollista saada rajallisia erotusmenetelmiä, jotka ovat jossakin mielessä konservatiivisia tietyn kvadratuurisäännön mukaisesti.
Nämä ovat määritelmän asioita. Kaikkia kolmea menetelmää on monia muunnelmia. Kaikki menetelmät eivät ole puhtaasti yhtä tyyppiä, ja yksityiskohdat vaihtelevat käyttöalueittain. Uuden menetelmän keksivät tutkijat käyttävät työkaluja, jotka auttavat tarjoamaan etsimänsä ominaisuudet. Kuten luulette löytäneenne, on vaikeaa löytää arvovaltainen keskustelu, ja minun olisi vaikea tarjota sitä. Paras neuvo, jonka voin antaa, on jatkaa lukemista odottamatta täysin selkeää vastausta, mutta antamalla tunnustusta sinulle järkeville asioille.