Quelles sont les différences conceptuelles entre la méthode des éléments finis et celle des volumes finis?

Elément fini: intégrales volumétriques, ordre polynomial interne

Hypothèse des méthodes des éléments finis classiques e espaces dapproximation continus ou faiblement continus et demander des intégrales volumétriques de la forme faible à satisfaire. Lordre de précision est augmenté en augmentant lordre dapproximation dans les éléments. Les méthodes ne sont pas exactement conservatrices, donc ont souvent du mal avec la stabilité pour les processus discontinus.

Volume fini: intégrales de surface, flux de données discontinues, ordre de reconstruction

Les méthodes de volumes finis utilisent une approximation constante par morceaux espaces et demander des intégrales par rapport aux fonctions de test constantes par morceaux à satisfaire. Cela donne des déclarations de conservation exactes. Lintégrale de volume est convertie en intégrale de surface et la physique entière est spécifiée en termes de flux dans ces intégrales de surface. Pour les problèmes hyperboliques du premier ordre, il sagit dune résolution de Riemann. Les flux de second ordre / elliptiques sont plus subtils. Lordre de précision est augmenté en utilisant des voisins pour reconstruire (de manière conservatrice) des représentations dordre supérieur de létat à lintérieur des éléments (reconstruction / limitation de pente) ou en reconstruisant des flux (limitation de flux). Le processus de reconstruction est généralement non linéaire pour contrôler les oscillations autour des caractéristiques discontinues de la solution, voir les méthodes de diminution de la variation totale (TVD) et essentiellement non oscillatoires (ENO / WENO). Une discrétisation non linéaire est nécessaire pour obtenir simultanément une précision supérieure au premier ordre dans les régions lisses et une variation totale bornée à travers les discontinuités, voir Théorème de Godunov .

Commentaires

FE et FV sont faciles à définir jusquau second ordre de précision sur les grilles non structurées. FE est plus facile daller au-delà du second ordre sur les grilles non structurées. FV gère les maillages non conformes plus facilement et de manière plus robuste .

Combinaison de FE et FV

Les méthodes peuvent être mariées de plusieurs manières. Les méthodes de Galerkin discontinues sont des méthodes déléments finis qui utilisent des fonctions de base discontinues, acquérant ainsi des solveurs de Riemann et plus de robustesse pour le discontinu (en particulier hyperboliques). Les méthodes DG peuvent être utilisées avec des limiteurs non linéaires (généralement avec une certaine réduction de la précision), mais satisfont une inégalité dentropie par cellule sans limitation et peuvent donc être utilisées sans limitation pour certains problèmes où dautres schémas nécessitent des limiteurs. ( Cest especi utile pour loptimisation basée sur ladjoint car elle rend ladjoint discret plus représentatif des équations adjointe continues.) Les méthodes FE mixtes pour les problèmes elliptiques utilisent des fonctions de base discontinues et après quelques choix de quadrature, peuvent être réinterprétées comme des méthodes de volumes finis standard, voir cette réponse pour en savoir plus. Les méthodes de reconstruction DG (aka. $ P_N P_M $ ou « Recovery DG ») utilisent à la fois une reconstruction conservatrice de type FV et un enrichissement dordre interne, et sont donc un sur-ensemble des méthodes FV et DG.

Les différences conceptuelles de FEM et FVM sont aussi subtiles que les différences entre un arbre et un pin.

Si vous comparez un certain schéma FEM à la discrétisation FVM appliquée à un problème particulier, alors vous pouvez parler de différences fondamentales qui deviennent évidentes dans différentes approches dimplémentation et différentes propriétés dapproximation (comme @Jed Brown la exposé dans sa réponse).

Mais en général, je dirais que FVM est un cas particulier de FEM, utilisant une grille de cellules et des fonctions de test constantes par morceaux. Cette relation est également utilisée pour lanalyse de convergence de FVM comme elle peut être trouvée dans le livre de Grossmann, Roos & Stynes: Traitement numérique des équations différentielles partielles .

La différence fondamentale est simplement la signification être attaché aux résultats. FDM prédit les valeurs de point de tout aspect de la solution. Linterpolation entre ces valeurs est souvent laissée à limagination de lutilisateur. FVM prédit les moyennes des variables conservées dans des volumes de contrôle spécifiques. Par conséquent, il prédit les variables conservées intégrées et peut être montré pour converger vers des solutions faibles (discontinues). FEM donne un ensemble de valeurs discrètes à partir desquelles une solution approchée peut être déduite sans ambiguïté partout en invoquant un ensemble de fonctions de base. Habituellement, mais pas nécessairement, les variables impliquées sont prudentes. Il est possible davoir des méthodes aux différences finies qui sont conservatrices dans un certain sens, selon une règle de quadrature particulière.

Ce sont des questions de définition. Il existe de nombreuses variantes des trois méthodes. Toutes les méthodes ne sont pas proprement dun type et les détails varient selon les domaines dapplication. Les chercheurs qui inventent une nouvelle méthode emploient ces outils qui aideront à fournir les propriétés quils recherchent. Il est, comme vous semblez lavoir trouvé, difficile de trouver une discussion faisant autorité et il me serait difficile den fournir une. Le meilleur conseil que je puisse vous donner est de continuer à lire, sans vous attendre à une réponse totalement claire, mais en accordant du crédit aux choses qui ont du sens pour vous.