Határozza meg az $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Megértem, hogyan lehet mezőt létrehozni 1/2 amplitúdójú [-1,1] amplitúdóból.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
a megoldás, amit látok, azt mondja, hogy $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Nem értem, hova jött a $ \ sin $ és hogy a 2-es értékek korrelálnak-e. Láttam bizonyítékokat, de tud valaki magyarázatot adni arra, hogy mik a változók. Köszönet
Válasz
Háromszög alakú függvény létrehozható két dobozfüggvény összevonásával az alábbiak szerint.
Innen származik a 2. lépés.
A konvolúció Fourier-transzformációja $ g (t) \ ast g (t) $ kiszámítható úgy, hogy megszorozzuk $ g (t) $ Fourier transzformációját önmagával, azaz $ G (\ omega) G (\ omega) $ -val.
Emlékezzünk vissza, hogy a a box funkció egy Sinc függvény ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Ezért a $ G (w) $ a sinc függvény valamilyen skálázott változata, a háromszögfüggvény Fourier-transzformációja pedig $ G (w) ^ 2 $.
Válasz
OK, így megérti, hogy az $ x (t) $ jelet két téglalap alakú függvény konvolúciója adja $ -1 $ -tól $ 1 $ -ig terjed, $ 1/2 $ magassággal. Csak a téglalap alakú függvény Fourier-transzformációját kell megtenni. Ezt nagyon egyszerűen megteheti a Fourier-transzformáció definíciójának alkalmazásával:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Biztos vagyok benne, hogy maga megoldhatja ezt az integrált. a szinuszfüggvény azért játszik szerepet, mert
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Végül a $ x (t) $ Fourier-transzformációját a következő adja:
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Válasz
A Fourier-transzformáció alapfüggvényei a szinusz és a koszinusz. Nem igazán kell csodálkozni azon, hogy a Sin funkció megjelent egy összetett jel elemzésénél.