A Sommerfeld-modell szerint a Fermi-szintű elektronok összefüggenek
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
ie $ \ hbar k_F = m_ev_F $ és $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
De mint kiderült, a számított Fermi energia sokaknál magasabb, mint a kísérleti érték fémek. Az energiasáv-elmélet ezt úgy számolta ki, hogy a $ m_e $ -ot lecserélte $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $ -ra. Most, ha meg akarom számítani az elektronok sebességét Fermi szinten, akkor le kell cserélnem a $ m_e $ -t $ m ^ * $ -ra? Úgy tűnik, de néhány (nem túl megbízható) forrás mást javasolt. Van-e valamilyen mögöttes kapcsolat, amely megszakad, és a Fermi-szinten levő elektronokat meztelen elektronként viselkedik?
Köszi!
Válasz
Ne feledje, hogy a Sommerfeld modell egyszerűen általánosítja a Drude fémelméletét figyelembe véve azt a tényt, hogy az elektronok fermionok, így Pauli kizárása nagyon fontos tényezővé válik. Sommerfeld modelljében nincs effektív tömeg , amiről beszélhetnénk, mivel az ember alapvetően figyelmen kívül hagyja a rendszer atomjait (magjait), és a szabad mozgásnak tekinthető > fermionok . Tehát ott a Fermi sebességét csak a következő adja meg: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Fejlettebb modellekkel, például a szoros kötési lánccal az ember kezd figyelembe véve az elektron periodikus környezetét, nevezetesen a periodikus Coulomb-potenciált $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (most a $ \ mathcal {H} $ a rendszer) és bizonyos képzett közelítésekkel a LCAO (atomi pályák lineáris kombinációja) megközelítést alkalmazzák a Schrödinger-egyenlet megoldására. Mint azt már látszólag tudja, ez az eredmény a szilárd elektronok híres sávszerkezete, ahol a vegyérték és a vezetési sávok közötti energiarés (félvezetők, szigetelők) jelenik meg. Amikor a sáv alját (min. Kond. Sáv vagy max. Valencia sáv) megközelíteni lehet egy parabola segítségével, akkor a diszperzió állandó részként és másodfokú kifejezésként írható: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ ezzel a közelítéssel az atomok szoros kötési láncában lévő elektron szabadon mozgónak írható le, ha a hozzá tartozó effektív $ m ^ * $ tömeget használjuk. Vegye figyelembe, hogy a $ cte $ kifejezés valójában $ E_c $ vagy $ E_v $ (csak a sáv energiái írják le a rést).
Összefoglalva: ha szabad elektronról beszélünk a sávszerkezeti modellben, akkor az effektív tömeg -et kell használni. Ha még több intuíciót szeretne látni, ha látta néhány levezetést, akkor észrevehette a $ t $ ugráló mátrix elemet, amely az energia sajátértékek megoldása során felbukkan, valójában ez a ugrálás ereje (annak valószínűsége, hogy az elektron ugrik a lánc atomjai között, a szoros kötési modellben) meghatározza, hogy az elektron tényleges tömege $ m ^ * $ mennyiben tér el a nyugalmi tömegétől $ m_e. $ A legtöbb esetben ezek ” egyszerűen fordítottan arányos $ m ^ * \ propto 1 / t, $ annál nagyobb $ t $, annál könnyebbnek érzik az elektronok.