可能な対称面を持つ化合物の立体異性体の数について、これらの一般式をどのように導き出すのですか？

管理しました奇数のキラル中心を持つ光学異性体の式を解読するために、ここで私の試みを共有します。他の人が革新することを願っています。

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疑似キラル炭素原子-はじめに

ゴールドブックは定義します疑似キラル/疑似非対称炭素原子：

4つの異なるエンティティに結合した四面体配位の炭素原子。そのうちの2つだけが構成は同じですが、キラリティーの意味が反対です。

これは、あなたの場合、次のことを意味します：

キラル炭素2と3の両方が構成R（または両方S）の場合、中央の炭素3はアキラル/対称になります。これで、「同じ構成を持つ2つだけのグループ」が代わりに同じキラリティー感覚を持つようになるためです。 （「対称面」によるアプローチは間違っています。この質問で詳細を確認してください）

したがって、できます / em>は、その疑似キラル性のために、3番目の炭素で可能な2つの立体異性体（ r と s ）になります。ただし、左右の置換基の両方が同じ光学構成を持っている場合は、 1つしかありません。

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手動カウントによる直感の構築

奇数のキラル中心と同様の末端を持つ光学異性体の場合、 $ n $ キラル中心がある場合、中央（ $ \ frac {n + 1} 2 $ -th）炭素原子は疑似キラルになります。直感を構築するために、「 $ n = 3 $ と $ n = 5 $ ：

ケース $ n = 3 $

ペンタンの例を見てください-2,3,4-トリオール自体。4つの（= $ 2 ^ {n-1} $ ）異性体が見つかります：

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R &-\\\ hline S & S &-\\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

関連する式から予想されるように、最初の2つ（ $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ）はメソ化合物であり、残りの2つ（ $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ）はエナンチオマーです。

ケース $ n = 5 $

ヘプタン-2,3,4,5,6-ペントールの例：

$ 16〜（= 2 ^ {n-1}）$ 異性体が予想され、C4炭素は疑似-キラル。非常に大きなテーブルを避けるために、メソ異性体の数は簡単に数えることができます（< <エナンチオマーの数）。これら4つの（= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ）メソ異性体の表を次に示します。

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R &-& R & R \\\ hline R & S &-& S & R \\\ hline S & R &-& R & S \\\ hline S & S &-& S & S \\\ hline \ end {array} $$

光学異性体の合計は $ 2 ^ {n-1} $ 異性体で与えられることに注意してください（詳細は以下を参照）。したがって、エナンチオマーの数は簡単に $ 12（= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2）$ になります。

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メソ異性体の数の式

表からわかるように、4番目の炭素原子から読み取ったときの光学配置のシーケンスは左右両方でまったく同じ。言い換えると、左側の炭素原子の光学構成の任意の順列を修正すると（たとえば、 RSS ）、 1 の一意の順列のみが取得されます。右側の光学構成（ SSR ）。

左側の各カーボンには2つの選択肢（ R または S ）があることがわかっています。 em>）、左側に $ \ frac {n-1} {2} $ の炭素原子があります。したがって、順列の総数は $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1になります。 } {2} $ 。

以来、私たちの説明（「4番目の炭素原子から読み取ったときの光学構成のシーケンスは、左右両方でまったく同じです」）は meso 異性体であるため、メソ異性体の数をカウントしました。これは $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ です。

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総異性体数の式

$ n $ キラル炭素があることに注意してください（その疑似キラル炭素を含む）。繰り返しますが、各キラル炭素には $ 2 $ の選択肢があります。したがって、可能な最大光学異性体の数は $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ です。これは可能な最大数であり、異性体の実際の総数ではなく、はるかに少ないです。

異性体の数の減少は、光学構成の文字列が

いいえを計算できます。偶数および奇数の直鎖分子の光学異性体の分析。対称性を観察し、単純な数学論理を使用することにより、キラル中心の合成が非常に簡単になります。いいえでも簡単に詳しく説明します。センターの。奇数ケースも同様の考え方で計算できます。

偶数の分子。分子を2つの等しい半分に分割できるキラル炭素中心の数

総数の計算光学異性体の計算には、メソ型とエナンチオマー対の計算が含まれます。その場合（およびキラル炭素中心の奇数数についても）、メソ型の計算は非常に簡単です。

いいえを計算するため。 メソ異性体の場合、偶数のない一般的な直鎖分子を検討してください。以下のようにキラル中心（たとえば、$ n = 2k $）の数

グループ（$ A_i $、$ \ forall i = 1,2、…、2k + 1 $）は、一般にメソ化合物を表すように配置されています。
ここで、$ k $ thと$ k + 1 $ thの炭素中心の間で、虚数平面によって分子を2つの等しい半分に分割できることに注目してください。そのため、上記の分子は全体としてメソ化合物です。メソ化合物になるには、この化合物の異性体もこの仮想平面に対して対称である必要があります。 。
したがって、対称炭素原子の構成は、上位$ k $または下位$ k $の炭素原子の構成を変更して、新しいメソ化合物を形成することしかできません。対称性を維持するために自動的に変更されます。
これで、$ 0 $原子（つまり、開始化合物）$ 1 $炭素原子または$ 2 $原子または$ 3 $原子などを$ k $まで変更できるため、実際に計算しています。各異性体は2回です。なぜなら、$ k-1 $原子の反転は、以前にすでに検討されている$ 1 $原子（$ k $番目の原子）の反転の鏡像に他なりません。
したがって、メソ化合物の総数= $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$これにより、結果が得られます。

ここで、異性体ペア、最初のキラル炭素中心（$ \ ce {C_1} $）を修正します。修正しないと、鏡像もカウントされてしまい、カウントしたくないからです。ペア。次に、対称的に反対側の炭素原子（$ \ ce {C_ {2k}} $）を、$ \ ce {C_1} $の反対側の相対構成として固定します。つまり、左側が$ A_3 $、右側が$ A_2 $です。残りの$ n-2 $中心は$ 2 ^ {n-2} $の方法で配向でき、すべてが異なる光学活性異性体になり、鏡像もありません。したがって、エナンチオマーペアは= $ 2 ^ {n-2} $になります。
つまり、合計はありません。光学異性体の数= $ 2 \ times 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

の場合、奇数。炭素原子の同様のアイデアを適用することができます。 $ n = 2k + 1 $を取る場合、いいえ。メソ異性体の数は、$$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$その背後にあるロジックと残りの部分は、読者が考えるために残されています…

コメント

• エナンチオマーの計算中に、C2kとは反対のC1の相対配置を修正したのはなぜですか？
• @shreya C1の相対構成の修正は、実際には個別のエナンチオマーペアを正確にカウントするために行う必要があります、および個別のペアを計算した後、それを2で乗算して、総エナンチオマーを取得できます。さて、この修正の概念は、慎重に考えると、基本的に円卓の周りの人々の順列に似ています。円卓の周りの順列を理解できれば、この問題は実際には非常に似ています。また、分子全体を2つの等しい半分に分割できる必要があるため、C2kについても修正を行う必要があります。

指定された回答に対する反論

1。回答は @Gaurang Tandon for “総異性体数の式”は各順列は正確に2回過大評価されています”。 5つのキラル中心とその間に対称面を持つ化合物を取ります。構成 RSsSR または RRrRR など。
サポートのために手描きの表が提供されています（明確に理解するために自分で表を描いてください）

疑似非対称炭素原子の概念は、両方の処方。表示されているものよりもはるかに複雑です。

2. @Soumik Das による回答には複数の問題があります。チェーンはストレートと呼ばれますが、これは正しくありません。置換アルカン鎖を真っ直ぐにすることはできません（エタンを除く）。この仮定はそれ以上の解決策を妨げることはありませんが。

   メソ異性体の数は正しく計算されています。しかし、組み合わせ論がすべての炭素原子で個々のグループをA1、A2などとしてマークする代わりに、R、Sの命名法を使用した場合、理解するのはもっと簡単だったかもしれません。

   エナンチオマーペアの定式化では、彼は鎖の末端キラル炭素を固定しますが、これは実行可能な方法ではなく、いくつかの例をとると単純な異議があります。この解決策は、答えを出すために作られたように見えます。構成RSRSの4キラル中心分子を取ります。末端炭素は反対の構成を持っています（R & S）。回答者が提供するアルゴリズムによると、この構成はエナンチオマーペアにもカウントされますが、この構成がメソであることはよくわかっています。

私の答え

計算式に頼らないでください光学異性体の数、または一般的には他の主題の問題通常、学生は特定の答えを見つけるための厳しい式を提供されます。私たちの場合、異性体が表を通して理解されている方が、次の式を使用するよりも簡単です。長期的には覚えにくいです。キラル炭素原子の数が4を超えると、明らかに手に負えなくなりますが、そのような問題は決して問われません。

それでも、人間が検索する傾向があります。物事の背後にある理由のために。魅力的な領域を見つけるためのはるかに広い知識と視点を得るのに役立つ大まかな式と一般的な理解にのみ依存します息子たち！