대칭 평면을 가진 화합물의 입체 이성질체 수에 대한 이러한 일반 공식을 유도하는 방법은 무엇입니까?

기이 한 키랄 중심을 가진 광학 이성질체 에 대한 공식을 해독하기 위해 여기에서 저의 시도를 공유하겠습니다. 다른 사람들이 다른 공식에 대한 솔루션을 게시합니다.

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의사 키랄 탄소 원자-소개

The Gold Book 정의 pseudo-chiral / pseudo-asymmetric 탄소 원자 :

4 개의 다른 독립 체에 결합 된 사면체로 배위 된 탄소 원자. 체질은 같지만 키랄성 감각이 반대입니다.

이는 귀하의 경우 다음을 의미합니다.

키랄 탄소 2와 3이 모두 구성 R (또는 둘 다 S)을 갖는 경우 중앙 탄소 3은 비키 랄 / 대칭이됩니다. 이제 “동일한 구성을 가진 2 개 그룹”이 대신 동일한 키랄성 감각을 갖기 때문입니다. ( 대칭 평면에 의한 접근 방식이 잘못되었습니다. 이 질문 에서 자세한 내용을 확인하세요.)

그러므로 할 수 있습니다 세 번째 탄소에서 가능한 2 개의 입체 이성질체 ( r 및 s )는 유사 키랄성으로 인해 가능합니다. 그러나 왼쪽과 오른쪽의 두 치환기가 동일한 광학 구성을 갖는 경우에는 하나 만있을 것입니다.

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수동 계수로 직감 구축

키랄 중심이 홀수이고 끝이 유사한 광학 이성질체의 경우 $ n $ 키랄 중심이 있으면 중간 ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) 탄소 원자는 의사 키랄입니다. 직관력을 높이기 위해 $ n = 3 $ 및 $ n = 5 $ :

케이스 $ n = 3 $

펜탄 -2,3,4-의 예 triol 자체입니다. 네 가지 (= $ 2 ^ {n-1} $ ) 이성질체를 찾습니다.

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R &-\\\ hline S & S &-\\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

관련 공식에서 예상 한 바와 같이 처음 두 개 ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ )는 메조 화합물이며 나머지 2 개 ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ )는 거울상 이성질체입니다.

사례 $ n = 5 $

헵탄 -2,3,4,5,6-pentol의 예 :

$ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ 이성질체를 기대하며 C4 탄소는 유사- 키랄. 매우 큰 테이블을 피하기 위해 메조 이성질체의 수를 쉽게 계산할 수 있습니다 (< < 거울상 이성질체의 수). 다음은 네 가지 (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) 메조 이성질체의 표입니다.

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R &-& R & R \\\ hline R & S &-& S & R \\\ hline S & R &-& R & S \\\ hline S & S &-& S & S \\\ hline \ end {array} $$

전체 광학 이성질체는 $ 2 ^ {n-1} $ 이성질체로 제공됩니다 (자세한 내용은 아래 참조). 따라서 거울상 이성질체의 수는 쉽게 $ 12 (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ 입니다.

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메조 이성질체 수에 대한 공식

표에서 관찰했듯이 네 번째 탄소 원자에서 읽을 때 광학 배열의 순서는 왼쪽과 오른쪽 모두 정확히 동일 즉, 왼쪽에있는 탄소 원자의 광학 구성 (예 : RSS )에 대해 임의의 순열을 수정하면 RSS 의 고유 순열 만 하나 얻습니다. 오른쪽의 광학 구성 ( SSR ).

왼쪽의 각 탄소에는 두 가지 선택 ( R 또는 S ), 왼쪽에 $ \ frac {n-1} {2} $ 탄소 원자가 있습니다. 따라서 총 순열 수는 $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

그러므로 우리의 설명 ( “네 번째 탄소 원자에서 읽을 때 광학 구성의 순서는 왼쪽과 오른쪽에서 정확히 동일합니다”)은 meso 이성질체, 따라서 메조 이성질체의 수를 계산했습니다. 이는 $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ 입니다.

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총 이성질체 수에 대한 공식

$ n $ 키랄 탄소 ( 유사 키랄 탄소 포함). 다시 말하지만, 각 키랄 탄소에는 $ 2 $ 선택권이 있습니다. 따라서 광학 이성질체의 최대 가능 수는 $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ 입니다. 이것은 가능한 최대 값이며 이성질체의 실제 총 수가 훨씬 적습니다.

이성체 수의 감소는 광학 구성 문자열이

두 말단 탄소 에서 정확히 동일 . 예 : RSsRS 는 SRsSR 과 동일합니다. 이는 화합물이 “유사한 끝”을 갖기 때문에 발생합니다.

따라서 각 순열이 정확히 두 번 계산되었습니다. 따라서 실제 총 이성체 수는 가능한 최대 값의 절반이며 $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ 입니다. .

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결론

따라서 끝이 유사한 화합물에 대해 “n”(키랄 중심의 수)이 홀수이면 다음과 같이 유도했습니다.

• $ \ text {메조 이성질체 수} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {총 광학 이성질체 수} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {거울상 이성질체 수} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

댓글

• 소개 부분의 진술에 관하여 : ” 키랄 탄소 2와 3이 모두 구성 R (또는 둘 다 S)을 갖는 경우 중앙 탄소 3은 비키 랄 / 대칭이 될 것입니다 …. ” : 그런 분자가 유사 비대칭 탄소가 없기 때문에 비키 랄이라고 결론을 내린 것 같습니다. 귀하의 연결된 질문은 분자가 유사 비대칭 탄소를 가지고 있지만 키랄 인 반대 사례를 다룹니다. 유사하게 분자에 유사 비대칭 중심이 없더라도 키 랄일 수 있습니다. ‘ 계산 목적에는 중요하지 않지만 메모하고 싶었습니다.

아니오로 계산할 수 있습니다. 직쇄 분자에 대한 광학 이성질체의 짝수 및 홀수 번호. 대칭을 관찰하고 간단한 수학적 논리를 사용하여 키랄 중심의 아니오에 대해서도 간략히 설명하겠습니다. 센터의. 이상한 아니. 사례도 비슷한 아이디어로 계산할 수 있습니다.

분자 없음. 분자가 두 개의 동일한 절반으로 나눌 수있는 키랄 탄소 센터의 수

총 개수 계산 광학 이성질체의 계산에는 Meso 형태 및 거울상 이성질체 쌍이 포함됩니다. 이 경우, 메조 형태의 계산은 매우 쉽습니다 (또한 키랄 탄소 중심의 홀수).

번호를 계산합니다. 메소 이성질체 중, 짝수가없는 일반 직쇄 분자를 고려하십시오. 키랄 센터 수 (예 : $ n = 2k $),

그룹 ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $)은 일반적으로 메조 화합물을 나타내도록 배열됩니다.
이제 $ k $ th와 $ k + 1 $ th 탄소 중심 사이에 가상 평면에 의해 분자가 두 개의 동일한 절반으로 나눌 수 있다는 것을 관찰하십시오. 이것이 바로 위의 분자가 전체적으로 메소 화합물 인 이유입니다. 이제 메소 화합물이 되려면이 화합물의 이성질체도이 가상 평면에 대해 대칭이어야합니다. .
따라서, 대칭 탄소 원자의 구성은 새로운 메소 화합물을 형성하기 위해 $ k $ 상위 또는 하위 $ k $ 탄소 원자의 구성 만 변경할 수 있습니다. 대칭을 유지하기 위해 자동으로 변경됩니다.
이제 $ 0 $ 원자 (즉, 시작 화합물) $ 1 $ 탄소 원자 또는 $ 2 $ 원자 또는 $ 3 $ 원자 등을 $ k $까지 변경할 수 있습니다. 따라서 실제로 계산하고 있습니다. 왜냐하면 $ k-1 $ 원자의 반전은 이전에 이미 고려되었던 $ 1 $ 원자 ($ k $ th 원자)의 반전 미러 이미지 일뿐입니다.
따라서, Meso 화합물의 총 수 = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$는 결과를 제공합니다.

이제 거울상 이성질체 쌍 , 첫 번째 Chiral Carbon 센터 ($ \ ce {C_1} $)를 수정합니다. 수정하지 않으면 거울 이미지도 계산하게되므로 계산에 원하지 않습니다. 한 쌍. 이제 대칭 적으로 반대되는 탄소 원자 ($ \ ce {C_ {2k}} $)를 $ \ ce {C_1} $, 즉 왼쪽에 $ A_3 $, 오른쪽에 $ A_2 $의 반대 구성으로 고정합니다. 나머지 $ n-2 $ 센터는 $ 2 ^ {n-2} $ 방식으로 방향을 지정할 수 있으며 모두 다른 광학 활성 이성질체이며 거울 이미지도 없습니다. 따라서 거울상 이성질체 쌍은 = $ 2 ^ {n-2} $가됩니다.
그래서, 총 없습니다.광학 이성질체 수 = $ 2 \ times 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

For, odd no. 탄소 원자도 비슷한 아이디어가 적용될 수 있습니다. $ n = 2k + 1 $를 받으면 아니요. 메조 이성질체의 수는 $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ 논리와 나머지 부분은 독자가 생각할 수 있도록 남겨 둡니다 …

댓글

• 거울상 이성질체를 계산하는 동안 C2k와 반대되는 C1의 상대 구성을 수정 한 이유는 무엇입니까?
• @shreya 우리가 실제로 서로 다른 거울상 이성질체 쌍을 정확하게 계산하기를 원하기 때문에 C1의 상대 구성을 고정해야합니다. 그리고 별개의 쌍을 계산 한 후 2를 곱하여 총 거울상 이성질체를 얻을 수 있습니다. 이제이 고정 개념은 기본적으로 신중하게 생각하면 원탁을 둘러싼 사람들의 순열과 유사합니다. 원탁 주위의 순열을 이해할 수 있다면이 문제는 실제로 매우 유사합니다. 또한 전체 분자는 두 개의 동일한 절반으로 나눌 수 있어야하므로 C2k에 대해서도 고정해야합니다.

주어진 답변에 대한 반론

1. @Gaurang Tandon for ” 총 이성질체 수 공식 “은 ” 각 순열이 정확히 두 번 초과 계산되었습니다 “. 5 개의 키랄 중심과 그 사이에 대칭 평면이있는 화합물을 가져옵니다. 구성 RSsSR 또는 RRrRR 등. 두 번 발생하지 않습니다.
손으로 그린 테이블이 지원을 위해 제공되었습니다. (많은 명확한 이해를 위해 테이블을 직접 그리십시오)

의사 비대칭 탄소 원자의 개념은 두 공식 모두. 상황은 제시된 것보다 훨씬 더 복잡합니다.

2. @Soumik Das 의 답변에는 여러 가지 문제가 있습니다. 체인은 올바르지 않은 직선 으로 호출됩니다. 치환 된 알칸 사슬은 직선이 될 수 없습니다 (에탄을 위해 절약). 이 가정은 더 이상의 해결책을 방해하지 않습니다.

   메조 이성질체의 수는 정확하게 계산됩니다. 그러나 조합론이 모든 탄소 원자에서 개별 그룹을 A1, A2 등으로 표시하는 대신 R, S 명명법을 사용했다면 이해하는 것이 더 간단 할 수 있습니다.

   거울상 이성질체 쌍에 대한 공식화에서 그는 사슬의 말단 키랄 탄소를 고정하는데, 이는 실행 가능한 방법이 아닙니다. 몇 가지 예를 들어 보면 간단한 이의가 있습니다. 이 솔루션은 답을 찾기 위해 만들어진 것처럼 보입니다. 구성 RSRS를 사용하여 네 개의 키랄 중심 분자를 가져옵니다. 최종 탄소는 반대 구성 (R & S)을 가지고 있습니다. 응답자가 제공 한 알고리즘에 따르면이 구성은 거울상 이성질체 쌍 에도 포함되지만이 구성이 메소 구성이라는 것을 잘 알고 있습니다.

내 대답

수식 계산에 의존하지 마십시오. 광학 이성체의 수 또는 일반적으로 다른 주제 문제입니다. 일반적으로 학생들은 특정 답을 찾기위한 가혹한 공식을 제공받습니다. 우리의 경우 이성체를 표를 통해 이해하면 다음과 같은 공식을 사용하는 것보다 해법이 더 쉽습니다. 장기적으로는 기억하기 어렵습니다. 키랄-탄소 원자의 수가 4 개 이상이면 당연히 손으로 어렵게되지만 그런 문제는 절대 묻지 않습니다.

그래도 검색하는 것은 인간의 경향입니다. 매력적인 영역을 찾기 위해 훨씬 더 넓은 지식과 관점을 얻는 데 도움이되는 조잡한 공식과 일반적인 이해에만 의존합니다. 아들들!