Kuinka johtaa nämä yleiset kaavat mahdollisen symmetriatason yhdisteen stereoisomeerien määrälle?

onnistuin murtaa optisten isomeerien kaava, jolla on parittomat kiraalikeskukset , joten jaan yritykseni täällä. Toivottavasti muut voivat tehdä innovaatioita se ja lähetä ratkaisuja muille kaavoille.

---

Pseudokiraaliset hiiliatomit – johdanto

Kulta-kirja määrittelee pseudokiraalinen / pseudoasymmetrinen hiiliatomi kuten:

tetraedrisesti koordinoitu hiiliatomi, joka on sitoutunut neljään eri kokonaisuuteen, joista kaksi ja vain kaksi on sama rakenne, mutta vastakkainen kiraalisuus.

Tämä tarkoittaa sinun tapauksessasi:

Jos kiraalisilla hiileillä 2 ja 3 on molemmilla konfiguraatio R (tai molemmilla S), niin keskeinen hiili 3 on akiraalinen / symmetrinen, koska nyt ”kahdella ja vain kahdella sen ryhmällä, joilla on sama rakenne”, on sen sijaan sama kiraalisuus. (Lähestymistapa ”symmetriatasolla” on väärä. Löydät lisätietoja tästä kysymyksestä )

Siksi voi olla kaksi stereoisomeeriä ( r ja s ), jotka ovat mahdollisia 3. hiilellä pesudokiraalisuudensa vuoksi. Mutta on vain yksi , jos molemmilla vasemmalla ja oikealla puolella olevilla substituenteilla on samat optiset konfiguraatiot.

---

Intuition rakentaminen laskemalla manuaalisesti

Optisten isomeerien kohdalla, joissa on pariton määrä kiraalikeskuksia ja vastaavia päitä, voit arvata, että jos kiraalisia keskuksia $ n $ on, keskimmäinen ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) hiiliatomi on pseudokiraalinen. Intuition luomiseksi laskemme manuaalisesti optiset isomeerit $ n = 3 $ ja $ n = 5 $ :

Tapaus $ n = 3 $

Ota esimerkki pentaani-2,3,4- itse trioli. Löydämme neljä (= $ 2 ^ {n-1} $ ) isomeeriä:

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Kuten asiaankuuluvasta kaavasta odotetaan, havaitsemme, että kaksi ensimmäistä ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) ovat mesoyhdisteitä ja kaksi muuta ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) ovat enantiomeerejä.

Tapaus $ n = 5 $

Valitse esimerkki heptaani-2,3,4,5,6-pentolista:

Odotamme $ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ isomeerejä, jolloin C4-hiili on pseudo- kiraalinen. Todellisen suuren taulukon välttämiseksi havaitaan, että meso-isomeerien määrä on helposti laskettavissa (< < enantiomeerien määrä). Tässä on taulukko näistä neljästä (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) meso-isomeeristä:

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Huomaa, että optisten isomeerien kokonaismäärä saadaan $ 2 ^ {n-1} $ -isomeereistä (lisätietoja alla). Enantiomeerien lukumäärä on siten helposti 12 dollaria (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .

---

Kaava meso-isomeerien lukumäärälle

Kuten taulukosta on todettava, optisten kokoonpanojen järjestys, kun luetaan neljännestä hiiliatomista, on täsmälleen sama sekä vasemmalle että oikealle. Toisin sanoen, jos korjaamme mielivaltaisen permutaation vasemmalla olevien hiiliatomien optisille kokoonpanoille (sanokaa RSS ), niin saamme vain yhden ainutlaatuisen permutaation optiset kokoonpanot oikealla ( SSR ).

Tiedämme, että jokaisella vasemmalla olevalla hiilellä on kaksi vaihtoehtoa ( R tai S ), ja vasemmalla on $ \ frac {n-1} {2} $ hiiliatomia. Täten permutaatioiden kokonaismäärä on $ 2 \ kertaa2 \ kertaa2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {kertaa} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

Koska kuvauksemme (”optisten kokoonpanojen järjestys neljännestä hiiliatomista luettuna on täsmälleen sama sekä vasemmalla että oikealla”) kuvaa meso isomeerit, olemme siis laskeneet meso-isomeerien määrän, joka on $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .

---

Kaava isomeerien kokonaismäärälle

Huomaa, että kiraalisia hiilejä on $ n $ mukaan lukien se pseudokiraalinen hiili). Jokaisella kiraalisella hiilellä on jälleen $ 2 $ valintoja. Siksi optisten isomeerien suurin mahdollinen lukumäärä on $ 2 \ kertaa2 \ kertaa2 \ cdots n \ text {kertaa} = 2 ^ n $ . Tämä on suurin mahdollinen, ei isomeerien todellinen kokonais lukumäärä, mikä on paljon pienempi.

Isomeerien määrän väheneminen johtuu siitä, että optisten kokoonpanojen merkkijono lukee täsmälleen sama kummastakin terminaalihiilestä . Esimerkki: RSsRS on sama kuin SRsSR . Tämä tapahtuu, koska yhdisteellä on ”samanlaiset päät”.

Siksi jokainen permutaatio on laskettu liikaa tarkalleen kahdesti . Siten isomeerien todellinen kokonaismäärä on puolet suurimmasta mahdollisesta ja on $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .

---

Päätelmä

Olemme siis johtaneet siihen, että jos ”n” (kiraalisten keskusten lukumäärä) on pariton yhdistelmälle, jolla on samanlaiset päät, niin:

• $ \ text {Meso-isomeerien lukumäärä} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {Optisten isomeerien kokonaismäärä} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {Enantiomeerien määrä} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

kommentteja

• Johdanto-osan alla olevasta lausunnostasi: ” Jos kiraalisilla hiilillä 2 ja 3 on molemmilla konfiguraatio R (tai molemmilla S), niin keskihiilellä 3 tulee olemaan achiraalinen / symmetrinen, … ”: Luulen, että päätelitte, että tällainen molekyyli olisi achiral johtuen pseudoasymmetrisen hiilen puuttumisesta. Linkitetty kysymyksesi käsittelee päinvastaista tapausta, jossa molekyylillä on pseudoasymmetrinen hiili, mutta se on achiral. Vastaavasti vaikka molekyylistä puuttuisi pseudoasymmetrisen keskuksen, se voi olla kiraalinen. Sillä ’ ei ole merkitystä laskentatarkoituksellemme, mutta halusin tehdä siitä muistiinpanon.

Voimme laskea ei. optisten isomeerien suoraketjuisia molekyylejä, joilla on parillinen ja pariton numero. Chiral-keskuksista helposti seuraamalla symmetrioita ja yksinkertaisia matematiikkalogiikoita. Tarkastelen lyhyesti edes ei. keskusten Pariton ei. tapaukset voidaan myös laskea samanlaisella ajatuksella.

Molekyyli, jossa ei ole yhtään. kiraalisista hiilikeskuksista, joissa molekyyli voidaan jakaa kahteen yhtä suureen puolikkaaseen

Lasketaan kokonaisnro. optisten isomeerien joukko sisältää Meso-muotojen ja enantiomeeriparien laskemisen. Siinä tapauksessa (ja myös kiraalisten hiilikeskusten parittomalle numerolle) mesomuotojen laskeminen on erittäin helppoa.

Laskettaessa nro. Meso-isomeerien joukosta katsotaan yleinen suoraketjuinen molekyyli, jossa ei ole yhtään. kiraalisia keskuksia (esimerkiksi $ n = 2k $) kuten alla,

Ryhmät ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) on järjestetty edustamaan meso-yhdistettä yleensä.
Huomaa nyt, että välillä $ k $ th – $ k + 1 $ th hiilikeskus, kuvitteellisella tasolla molekyyli voidaan jakaa kahteen yhtä suureen puolikkaaseen. Siksi kokonaisuutena yllä oleva molekyyli on Meso-yhdiste. Nyt, jotta siitä tulisi Meso-yhdiste, myös tämän yhdisteen isomeerin on oltava symmetrinen tämän kuvitteellisen tason kanssa. .
Voimme siis muuttaa vain ylempien $ k $ tai $ k $ hiiliatomien kokoonpanoa uuden Meso-yhdisteen muodostamiseksi, koska symmetrisen hiiliatomin kokoonpano muuttuu automaattisesti symmetrisyyden ylläpitämiseksi.
Nyt voimme muuttaa $ 0 $ atomia (ts. lähtöyhdistettämme) $ 1 $ hiiliatomia tai $ 2 $ atomia tai $ 3 $ atomia ja niin edelleen $ k $: iin asti, joten laskemme itse asiassa kukin isomeeri kahdesti.Koska $ k-1 $ -atomien inversio ei ole muuta kuin $ 1 $ -atomin ($ k $ th-atomin) inversion peilikuva, jota pidetään jo aiemmin.
Näin ollen Meso-yhdisteiden kokonaismäärä = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$ mikä antaa meille tuloksen.

Nyt enantiomeeripareille , korjaa ensimmäinen kiraalihiilikeskus ($ \ ce {C_1} $), koska jos emme korjaa sitä, laskemme myös peilikuvia, joita emme halua laskea paria. Korjaa nyt sen symmetrisesti vastakkainen hiiliatomi ($ \ ce {C_ {2k}} $) suhteellisena kokoonpanona, joka on vastapäätä $ \ ce {C_1} $ eli $ A_3 $ vasemmalla ja $ A_2 $ oikealla. jäljellä olevat $ n-2 $ -keskukset voidaan suunnata $ 2 ^ {n-2} $ -tavoilla, ja kaikki ovat erilaisia optisesti aktiivisia isomeerejä, eikä myöskään ole peilikuvia. Täten enantiomeeriparit ovat = $ 2 ^ {n-2} $.
Joten yhteensä.optisista isomeereistä = $ 2 \ kertaa 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

Sillä, pariton nro. hiiliatomien osalta myös samanlaista ajatusta voidaan soveltaa. Jos otat $ n = 2k + 1 $, ei. meso-isomeerien joukosta tulee, $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ Sen takana oleva logiikka ja jäljellä oleva osa jätetään lukijan miettiä …

Kommentit

• miksi laskit enantiomeerien laskennassa C1: n suhteellisen konfiguraation C2k: tä vastapäätä?
• @shreya C1: n suhteellisen konfiguraation kiinnitys on tehtävä, koska haluamme itse asiassa laskea erilliset enantiomeeriparit tarkaksi , ja laskettuaan erilliset parit voimme kertoa sen kahdella saadaksesi enantiomeerien kokonaismäärän. Nyt tämä kiinnityskonsepti on pohjimmiltaan samanlainen kuin pyöreän pöydän ympärillä olevien ihmisten permutaatiot, jos ajattelet huolellisesti. Jos pystyt ymmärtämään pyöreän pöydän ympärillä olevia permutaatioita, tämä ongelma on itse asiassa hyvin samanlainen. Ja myös molekyylin tulisi olla jaettavissa kahteen yhtä suureen puolikkaaseen, joten kiinnitys tulisi tehdä myös C2k: lle.