Det er en åpenbar forskjell mellom endelig forskjell og endelig volummetode (flytter fra punktdefinisjon av ligningene til integrale gjennomsnitt over celler). Men jeg synes FEM og FVM er veldig like; de bruker begge integrert form og gjennomsnitt over celler.
Hva gjør FEM-metoden som FVM ikke er? Jeg har lest litt bakgrunn om FEM. Jeg forstår at ligningene er skrevet i svak form, dette gir metoden et litt annet oppgavepunkt enn FVM. Imidlertid forstår jeg ikke på konseptuelt nivå hva forskjellene er. Gjør FEM noen antagelse om hvordan det ukjente varierer inne i cellen, kan ikke dette også gjøres med FVM?
Jeg er stort sett kommer fra 1D-perspektiv, så kanskje FEM har fordeler med mer enn én dimensjon?
Jeg har ikke funnet mye informasjon tilgjengelig om dette emnet på nettet. Wikipedia har en seksjon om hvordan FEM er forskjellig fra endelig forskjell metode, men det handler om det, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Kommentarer
- Her er min oppfatning av saken (mot slutten): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Jeg har skrevet dette i detalj i bloggen min Forskjellen mellom FEM, FVM og FDM
Svar
Endelig element: volumetriske integraler, intern polynomisk rekkefølge
Klassiske endelige elementmetoder antar e kontinuerlige eller svakt kontinuerlige tilnærmingsrom og be om volumetriske integraler av den svake formen for å bli oppfylt. Rekkefølgen økes ved å heve tilnærmelsesrekkefølgen innenfor elementene. Metodene er ikke akkurat konservative, og sliter dermed ofte med stabilitet for diskontinuerlige prosesser.
Endelig volum: overflateintegraler, strømninger fra diskontinuerlige data, rekonstruksjonsrekkefølge
Endelige volummetoder bruker stykkevis konstant tilnærming mellomrom og be om integraler mot stykkevise konstante testfunksjoner for å bli oppfylt. Dette gir nøyaktige bevaringsuttalelser. Volumintegralet konverteres til en overflateintegral, og hele fysikken er spesifisert i form av strømninger i disse overflateintegralene. For førsteordens hyperbolske problemer er dette en Riemann-løsning. Andre orden / elliptiske strømninger er mer subtile. Nøyaktighetsrekkefølgen økes ved å bruke naboer til (konservativt) å rekonstruere representasjoner av høyere orden av tilstanden i elementene (skrårekonstruksjon / begrensning) eller ved å rekonstruere strømninger (fluksbegrensning). Rekonstruksjonsprosessen er vanligvis ikke-lineær for å kontrollere svingninger rundt diskontinuerlige trekk ved løsningen, se total variasjon avtagende (TVD) og i hovedsak ikke-oscillerende (ENO / WENO) metoder. En ikke-lineær diskretisering er nødvendig for samtidig å oppnå både høyere enn førsteordens nøyaktighet i glatte regioner og avgrenset total variasjon på tvers av diskontinuiteter, se Godunovs teorem .
Kommentarer
Både FE og FV er enkle å definere opptil 2. ordens nøyaktighet på ustrukturerte nett. FE er lettere å gå utover andre ordre på ustrukturerte nett. FV håndterer ikke-samsvarende masker lettere og robust .
Kombinere FE og FV
Metodene kan gis på flere måter. Diskontinuerlige Galerkin-metoder er endelige elementmetoder som bruker diskontinuerlige basisfunksjoner, og dermed skaffer Riemann-løsere og mer robusthet for diskontinuerlige prosesser (spesielt hyperbolsk). DG-metoder kan brukes med ikke-lineære begrensere (vanligvis med en viss reduksjon i nøyaktighet), men tilfredsstiller en cellevis entropiulikhet uten begrensning og kan dermed brukes uten å begrense for noen problemer der andre ordninger krever begrensere. ( Dette er spesielt alliert nyttig for tilgrensningsbasert optimalisering siden det gjør den diskrete tilstøtningen mer representativ for de kontinuerlige sammenhengende ligningene.) Blandede FE-metoder for elliptiske problemer bruker diskontinuerlige basisfunksjoner, og etter noen valg av kvadratur kan de tolkes som standard endelige volummetoder, se dette svaret for mer. Rekonstruksjon DG-metoder (aka $ P_N P_M $ eller «Recovery DG») bruker både FV-lignende konservativ rekonstruksjon og intern ordreberikelse, og er dermed et supersett av FV- og DG-metoder.
Svar
De konseptuelle forskjellene mellom FEM og FVM er like subtile som forskjellene mellom et tre og en furu.
Hvis du sammenligner et bestemt FEM-opplegg til FVM-diskretiseringen brukt på et bestemt problem, så kan du snakke om grunnleggende forskjeller som blir tydelige i forskjellige implementeringsmetoder og forskjellige tilnærmingsegenskaper (som @Jed Brown har lagt ut i sitt svar).
Men generelt vil jeg si at FVM er et spesielt tilfelle av FEM, ved hjelp av et rutenett av celler og stykkevis konstante testfunksjoner. Denne relasjonen brukes også til konvergensanalyse av FVM slik den kan bli funnet i boken av Grossmann, Roos & Stynes: Numerisk behandling av partielle differensialligninger .
Svar
Den grunnleggende forskjellen er ganske enkelt meningen som skal knyttes til resultatene. FDM forutsier punktverdier for ethvert aspekt av løsningen. Interpolasjon mellom disse verdiene overlates ofte til brukerens fantasi. FVM forutsier gjennomsnitt av konserverte variabler innenfor spesifikke kontrollvolumer. Derfor forutsier den integrerte konserverte variabler og kan vises å konvergere til svake (diskontinuerlige) løsninger. FEM gir et sett med diskrete verdier som en omtrentlig løsning kan trekkes entydig overalt fra ved å påkalle et sett med basisfunksjoner. Vanligvis, men ikke nødvendigvis, er variablene som er involvert konservative. Det er mulig å ha endelige forskjellsmetoder som er konservative i en eller annen forstand, i henhold til en bestemt kvadraturregel.
Dette er definisjonssaker. Det er mange varianter av alle tre metodene. Ikke alle metoder er rent av en type, og detaljene varierer mellom bruksområdene. Forskere som oppfinner en ny metode, bruker de verktøyene som vil bidra til å gi egenskapene de leter etter. Det er, som du ser ut til å ha funnet, vanskelig å finne en autoritativ diskusjon, og det ville være vanskelig for meg å gi en. Det beste rådet jeg kan gi er å fortsette å lese uten å forvente et helt klart svar, men å gi tro på de tingene som gir mening for deg.