Volgens het Sommerfeld-model hebben de elektronen op het Fermi-niveau de relatie
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
dwz $ \ hbar k_F = m_ev_F $ with $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Maar het blijkt dat de berekende Fermi-energie hoger is dan de experimentele waarde voor veel metalen. De energiebandtheorie verklaarde dit door $ m_e $ te vervangen door $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Als ik nu de snelheid van elektronen op het Fermi-niveau wil berekenen, moet ik dan $ m_e $ vervangen door $ m ^ * $? Het lijkt zo, maar een (niet zo betrouwbare) bron suggereerde iets anders. Is er een onderliggende relatie die teniet doet en ervoor zorgt dat de elektronen op Fermi-niveau zich gedragen als een naakt elektron?
Bedankt!
Antwoord
Merk op dat Sommerfeld “s model eenvoudigweg Drude” s theorie van metalen door rekening te houden met het feit dat elektronen fermionen zijn, dus Pauli-uitsluiting wordt een zeer belangrijke factor. In het model van Sommerfeld is er geen effectieve massa om over te praten, aangezien men in feite de atomen (kernen) in het systeem negeert en vrij bewegen beschouwt fermionen . Dus daar wordt je Fermi-snelheid gegeven door: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Met meer geavanceerde modellen, zoals de strakke bindende ketting, begint men te nemen houd rekening met de periodieke omgeving van het elektron, namelijk de periodieke Coulombpotentiaal $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (nu opgenomen in de $ \ mathcal {H} $ van het systeem) en bij bepaalde onderbouwde benaderingen wordt een LCAO (lineaire combinatie van atoomorbitalen) gebruikt om de Schrödingervergelijking op te lossen. Zoals je al weet, is dit resultaat de beroemde bandstructuur van elektronen in vaste stoffen, waar een energetische kloof ontstaat tussen de valentie- en geleidingsbanden (halfgeleiders, isolatoren). Wanneer de onderkant van de band (min van cond. Band of max van valentieband) kan worden benaderd door een parabool, dan kan de spreiding worden geschreven als een constant deel plus een kwadratische term: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ met deze benadering kan het elektron in de strak bindende keten van atomen worden omschreven als vrij bewegend als de bijbehorende effectieve massa $ m ^ * $ wordt gebruikt. Merk op dat de term $ cte $ in feite $ E_c $ of $ E_v $ is (alleen de bandenergieën die de kloof beschrijven).
Samenvattend, als je “spreekt over een vrij elektron in het bandstructuurmodel, dan is de effectieve massa moet worden gebruikt. Voor meer intuïtie, als je enkele van de afleidingen hebt gezien, heb je misschien het springende matrixelement $ t $ opgemerkt dat naar voren komt bij het oplossen van de energie-eigenwaarden, het is in feite het springen sterkte (waarschijnlijkheid dat het elektron tussen de atomen in de ketting springt, in het strak bindende model) die bepaalt hoe verschillend de effectieve massa $ m ^ * $ van het elektron is van zijn rustmassa $ m_e. $ In de meeste gevallen ” opnieuw gewoon omgekeerd evenredig $ m ^ * \ propto 1 / t, $ hoe groter $ t $, hoe lichter de elektronen voelen.