Er is een duidelijk verschil tussen eindige verschillen en de eindige volumemethode (overgaan van puntdefinitie van de vergelijkingen naar integrale gemiddelden over cellen). Maar ik vind dat FEM en FVM erg op elkaar lijken; ze gebruiken allebei integrale vorm en gemiddelde over cellen.
Wat doet de FEM-methode en de FVM niet? Ik heb wat achtergrondinformatie over de FEM gelezen. Ik begrijp dat de vergelijkingen in de zwakke vorm zijn geschreven, dit geeft de methode een iets ander aangiftepunt dan de FVM. Op conceptueel niveau begrijp ik echter niet wat de verschillen zijn. Doet FEM een of andere aanname over hoe het onbekende in de cel varieert, kan dit ook niet met FVM worden gedaan?
Ik ben meestal vanuit 1D-perspectief, dus misschien heeft FEM voordelen met meer dan één dimensie?
Ik heb “niet veel informatie over dit onderwerp op het net gevonden. Wikipedia heeft een sectie over hoe de FEM verschilt van de eindige verschillen methode, maar dat is het zowat, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Reacties
- Hier is mijn mening over het probleem (tegen het einde): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Ik heb dit in detail geschreven in mijn blog Het verschil tussen FEM, FVM en FDM
Antwoord
Eindig element: volumetrische integralen, interne polynoomvolgorde
Klassieke eindige-elementenmethoden gaan ervan uit e doorlopende of zwak doorlopende benaderingsruimten en vragen om te voldoen aan volumetrische integralen van de zwakke vorm. De volgorde van nauwkeurigheid wordt vergroot door de volgorde van benaderingen binnen elementen te verhogen. De methoden zijn niet bepaald conservatief, dus worstelen ze vaak met de stabiliteit voor discontinue processen.
Eindig volume: oppervlakte-integralen, fluxen van discontinue gegevens, reconstructievolgorde
Eindige volumemethoden gebruiken stuksgewijze constante benadering spaties en vraag om te voldoen aan integralen tegen stuksgewijze constante testfuncties. Dit levert exacte bewaarverklaringen op. De volume-integraal wordt omgezet in een oppervlakte-integraal en de gehele fysica wordt gespecificeerd in termen van fluxen in die oppervlakte-integralen. Voor hyperbolische problemen van de eerste orde is dit een Riemann-oplossing. Tweede orde / elliptische fluxen zijn subtieler. De volgorde van nauwkeurigheid wordt vergroot door buren te gebruiken om (conservatief) representaties van hogere orde van de toestand binnen elementen te reconstrueren (hellingsreconstructie / begrenzing) of door fluxen te reconstrueren (fluxbeperking). Het reconstructieproces is meestal niet-lineair om oscillaties rond discontinue kenmerken van de oplossing te beheersen, zie Total Variation Diminishing (TVD) en in wezen niet-oscillerende (ENO / WENO) methoden. Een niet-lineaire discretisatie is nodig om tegelijkertijd zowel een hogere dan eerste orde nauwkeurigheid in gladde gebieden als een begrensde totale variatie over discontinuïteiten te verkrijgen, zie Godunov “s stelling .
Opmerkingen
Zowel FE als FV zijn gemakkelijk te definiëren tot een nauwkeurigheid van de tweede orde op ongestructureerde rasters. FE is gemakkelijker om verder te gaan dan tweede orde op ongestructureerde rasters. FV verwerkt niet-conforme mazen gemakkelijker en robuuster .
Combinatie van FE en FV
De methoden kunnen op meerdere manieren worden gecombineerd. Discontinue Galerkin-methoden zijn eindige-elementenmethoden die gebruik maken van discontinue basisfuncties, waardoor Riemann-oplossers worden verkregen en robuuster voor discontinue methoden. processen (vooral hyperbolisch). DG-methoden kunnen worden gebruikt met niet-lineaire begrenzers (meestal met enige vermindering van de nauwkeurigheid), maar voldoen aan een celgewijze entropie-ongelijkheid zonder beperking en kunnen dus zonder beperking worden gebruikt voor sommige problemen waar andere schemas begrenzers vereisen. Dit is especi bondgenoot nuttig voor op adjoint gebaseerde optimalisatie, aangezien het het discrete adjoint representatiever maakt voor de continue adjoint-vergelijkingen.) Mixed FE-methoden voor elliptische problemen gebruiken discontinue basisfuncties en kunnen na enkele keuzes van kwadratuur opnieuw worden geïnterpreteerd als standaard eindige-volumemethoden, zie dit antwoord voor meer. Reconstructie DG-methoden (ook bekend als $ P_N P_M $ of “Recovery DG”) gebruiken zowel FV-achtige conservatieve reconstructie als interne orderverrijking en zijn dus een superset van FV- en DG-methoden.
Antwoord
De conceptuele verschillen tussen FEM en FVM zijn net zo subtiel als de verschillen tussen een boom en een den.
Als je een bepaald FEM-schema vergelijkt op de FVM-discretisatie toegepast op een bepaald probleem, dan kun je spreken van fundamentele verschillen die duidelijk worden in verschillende implementatiebenaderingen en verschillende benaderings-eigenschappen (zoals @Jed Brown heeft uiteengezet in zijn antwoord).
Maar over het algemeen zou ik zeggen dat FVM een speciaal geval van FEM is, met een raster van cellen en stuksgewijze constante testfuncties. Deze relatie wordt ook gebruikt voor convergentieanalyse van FVM zoals deze kan worden gevonden in het boek van Grossmann, Roos & Stynes: Numerieke behandeling van partiële differentiaalvergelijkingen .
Antwoord
Het fundamentele verschil is simpelweg de betekenis om aan de resultaten te worden gehecht. FDM voorspelt puntwaarden van elk aspect van de oplossing. Interpolatie tussen deze waarden wordt vaak overgelaten aan de verbeelding van de gebruiker. FVM voorspelt gemiddelden van geconserveerde variabelen binnen specifieke controlevolumes. Daarom voorspelt het de geïntegreerde geconserveerde variabelen en kan worden aangetoond dat ze convergeren naar zwakke (discontinue) oplossingen. FEM geeft een set van discrete waarden waaruit een benaderende oplossing overal ondubbelzinnig kan worden afgeleid door een reeks basisfuncties aan te roepen. Meestal, maar niet noodzakelijk, zijn de betrokken variabelen conservatief. Het is mogelijk om eindige verschilmethoden te hebben die in zekere zin conservatief zijn, volgens een bepaalde kwadratuurregel.
Dit zijn kwesties van definitie. Er zijn veel variaties op alle drie de methoden. Niet elke methode is zuiver van één type en de details variëren tussen toepassingsgebieden. Onderzoekers die een nieuwe methode uitvinden, gebruiken die tools die zullen helpen om de eigenschappen te bieden waarnaar ze op zoek zijn. Het is, zoals u lijkt te hebben ondervonden, moeilijk om een gezaghebbende discussie te vinden en het zou moeilijk voor mij zijn om er een te geven. Het beste advies dat ik kan geven, is door te lezen, zonder een volledig duidelijk antwoord te verwachten, maar geloof te hechten aan de dingen die voor u logisch zijn.