Există o diferență evidentă între diferența finită și metoda volumului finit (trecerea de la definiția punctuală a ecuațiilor la mediile integrale peste celule). Dar consider că FEM și FVM sunt foarte asemănătoare; ambele folosesc forma integrală și media peste celule.
Ce face metoda FEM, care nu este FVM? Am citit câteva informații despre FEM. Înțeleg că ecuațiile sunt scrise într-o formă slabă, ceea ce conferă metodei un punct de afirmare ușor diferit față de FVM. Cu toate acestea, nu înțeleg la nivel conceptual care sunt diferențele. FEM face unele presupuneri cu privire la modul în care necunoscutul variază în interiorul celulei, nu se poate face acest lucru și cu FVM?
Sunt în mare parte provenind din perspectiva 1D, deci poate FEM are avantaje cu mai multe dimensiuni?
Nu am găsit multe informații disponibile pe acest subiect pe net. Wikipedia are o secțiune despre modul în care FEM este diferit de diferența finită metodă, dar cam atât, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Comentarii
- Iată ideea mea asupra problemei (spre final): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Am scris acest lucru în detaliu în blogul meu Diferența dintre FEM, FVM și FDM
Răspuns
Element finit: integrale volumetrice, ordine polinomială internă
Metodele clasice ale elementelor finite presupun e spațiile de aproximare continue sau slab continue și solicită satisfacerea integralelor volumetrice ale formei slabe. Ordinea de precizie este mărită prin ridicarea ordinii de aproximare în cadrul elementelor. Metodele nu sunt tocmai conservatoare, de aceea deseori se luptă cu stabilitatea pentru procesele discontinue.
Volumul finit: integrale de suprafață, fluxuri din date discontinue, ordinea reconstrucției
Metodele volumului finit utilizează aproximarea constantă în bucăți spații și cereți integrale pentru a fi satisfăcute funcții de test constante în bucăți. Aceasta produce declarații de conservare exacte. Integrala de volum este convertită într-o integrală de suprafață și întreaga fizică este specificată în termeni de fluxuri în acele integrale de suprafață. Pentru problemele hiperbolice de ordinul întâi, aceasta este o soluție Riemann. Fluxurile de ordinul II / eliptice sunt mai subtile. Ordinea de precizie este mărită prin utilizarea vecinilor pentru a reconstitui (conservator) reprezentări de ordin superior ale stării din interiorul elementelor (reconstrucția / limitarea pantei) sau prin reconstituirea fluxurilor (limitarea fluxului). Procesul de reconstrucție este de obicei neliniar pentru a controla oscilațiile în jurul caracteristicilor discontinue ale soluției, a se vedea metodele de diminuare a variației totale (TVD) și, în esență, non-oscilatorii (ENO / WENO). Este necesară o discretizare neliniară pentru a obține simultan o precizie mai mare decât cea de ordinul întâi în regiunile netede și variația totală mărginită între discontinuități, vezi Teorema lui Godunov .
Comentarii
Atât FE cât și FV sunt ușor de definit cu precizie de ordinul doi pe rețelele nestructurate. FE este mai ușor să treacă dincolo de ordinul al doilea pe rețelele nestructurate. FV gestionează ochiurile neconforme mai ușor și mai robust .
Combinarea FE și FV
Metodele pot fi căsătorite în mai multe moduri. Metodele discontinue Galerkin sunt metode cu elemente finite care utilizează funcții de bază discontinue, dobândind astfel solutori Riemann și mai multă robustețe pentru discontinuitate (în special hiperbolice). Metodele DG pot fi utilizate cu limitatoare neliniare (de obicei cu o oarecare reducere a preciziei), dar satisfac o inegalitate de entropie celulară fără limitare și pot fi astfel utilizate fără limitare pentru unele probleme în care alte scheme necesită limitatoare. ( Acest lucru este specific util pentru optimizarea bazată pe conexiune, deoarece face ca adjunctul discret să fie mai reprezentativ pentru ecuațiile adjuvante continue.) Metodele FE mixte pentru probleme eliptice utilizează funcții de bază discontinue și după unele alegeri de cvadratură, pot fi reinterpretate ca metode standard de volum finit, vezi acest răspuns pentru mai multe. Metodele DG de reconstrucție (alias. $ P_N P_M $ sau „Recovery DG”) utilizează atât reconstrucția conservatoare de tip FV, cât și îmbogățirea comenzilor interne și, prin urmare, sunt un superset al metodelor FV și DG.
Răspuns
Diferențele conceptuale ale FEM și FVM sunt la fel de subtile ca diferențele dintre un copac și un pin.
Dacă comparați o anumită schemă FEM la discretizarea FVM aplicată unei anumite probleme, atunci puteți vorbi despre diferențe fundamentale care devin evidente în diferite abordări de implementare și diferite proprietăți de aproximare (așa cum a prezentat @Jed Brown în răspunsul său).
Dar, în general, aș spune că FVM este un caz special al FEM, folosind o grilă de celule și funcții de testare constante. Această relație este, de asemenea, utilizată pentru analiza convergenței FVM, așa cum poate fi găsită în carte de Grossmann, Roos & Stynes: Tratamentul numeric al ecuațiilor diferențiale parțiale .
Răspuns
Diferența de bază este pur și simplu semnificația să fie atașat la rezultate. FDM prezice valori punctuale ale oricărui aspect al soluției. Interpolația dintre aceste valori este adesea lăsată în imaginația utilizatorului. FVM prezice medii ale variabilelor conservate în volume specifice de control. Prin urmare, prezice variabilele conservate integrate și se poate demonstra că converg către soluții slabe (discontinue). FEM oferă un set de valori discrete din care o soluție aproximativă poate fi dedusă fără echivoc pretutindeni prin invocarea unui set de funcții de bază. De obicei, dar nu neapărat, variabilele implicate sunt conservatoare. Este posibil să existe metode de diferență finită, care sunt conservatoare într-un anumit sens, conform unei reguli de patratură anume.
Acestea sunt chestiuni de definiție. Există multe variante ale tuturor celor trei metode. Nu fiecare metodă este de un singur tip, iar detaliile variază între domeniile de aplicare. Cercetătorii care inventează o nouă metodă folosesc acele instrumente care vă vor ajuta să oferiți proprietățile pe care le caută. Așa cum pareți că ați găsit, este dificil să găsiți o discuție autoritară și mi-ar fi greu să ofer o discuție. Cel mai bun sfat pe care îl pot oferi este să continui să citesc, fără să aștept un răspuns complet clar, dar dând credință lucrurilor care au sens pentru tine.