Enligt Sommerfeld-modellen har elektronerna på Fermi-nivån förhållandet
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
ie $ \ hbar k_F = m_ev_F $ med $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Men som det visar sig är den beräknade Fermi-energin högre än det experimentella värdet för många metaller. Energibandsteorin redogjorde för detta genom att ersätta $ m_e $ med $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Om jag nu vill beräkna elektronernas hastighet på Fermi-nivån, måste jag byta ut $ m_e $ med $ m ^ * $? Det verkar så, men någon (inte så tillförlitlig) källa föreslog något annat. Finns det något underliggande förhållande som avbryts och orsakar att elektronerna på Fermi-nivå fungerar som en naken elektron?
Tack!
Svar
Observera att Sommerfelds modell helt enkelt generaliserar Drudes teori om metaller genom att ta hänsyn till det faktum att elektroner är fermioner, så Pauli-utestängning blir en mycket viktig faktor. I Sommerfelds modell finns det ingen effektiv massa att prata om, eftersom man i princip ignorerar atomerna (kärnorna) i systemet och anser sig vara fritt rörliga fermioner . Så där ges din Fermi-hastighet bara av: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Med mer avancerade modeller, som den täta bindningskedjan, börjar man ta med hänsyn till elektronens periodiska miljö, nämligen den periodiska Coulomb-potentialen $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (tas nu i $ \ mathcal {H} $ av systemet) och med vissa utbildade approximationer används en LCAO (linjär kombination av atomorbitaler) för att lösa Schrödinger-ekvationen. Som du redan verkar veta är detta resultat den berömda bandstrukturen för elektroner i fasta ämnen, där ett energiskt gap mellan valens- och ledningsband uppträder (halvledare, isolatorer). Närhelst botten av bandet (min kondensband eller max valensband) kan approximeras av en parabel, kan dispersionen skrivas som en konstant del plus en kvadratisk term: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ med denna approximation kan elektronen i den täta bindningskedjan av atomer beskrivas som fritt rörlig om tillhörande effektiv massa $ m ^ * $ används. Observera att termen $ cte $ faktiskt är $ E_c $ eller $ E_v $ (bara bandets energier som beskriver klyftan).
För att sammanfatta, om du ”pratar om en fri elektron i bandstrukturmodellen, så är effektiv massa ska användas. För mer intuition, om du har sett några avledningarna, kanske du har lagt märke till hoppmatriselementet $ t $ som dyker upp när du löser energivärdena, det är faktiskt hoppningen styrka (sannolikheten för att elektronen hoppar mellan atomerna i kedjan, i den snäva bindningsmodellen) som definierar hur annorlunda den effektiva massan $ m ^ * $ för elektronen är från dess vilmassa $ m_e. $ I de flesta fall ” är helt enkelt omvänt proportionell $ m ^ * \ propto 1 / t, $ ju större $ t $, desto lättare känner elektronerna.