Det finns en uppenbar skillnad mellan ändlig skillnad och den ändliga volymmetoden (flyttar från punktdefinition av ekvationerna till integrerade medelvärden över celler). Men jag tycker att FEM och FVM är väldigt lika; de använder båda integrerad form och genomsnitt över celler.
Vad gör FEM-metoden som FVM inte är? Jag har läst lite bakgrund om FEM. Jag förstår att ekvationerna är skrivna i svag form, detta ger metoden en något annorlunda punkt än FVM. Men jag förstår inte på begreppsnivå vad skillnaderna är. Gör FEM något antagande om hur det okända varierar inuti cellen, kan inte detta också göras med FVM?
Jag är mest kommer från 1D-perspektiv så kanske FEM har fördelar med mer än en dimension?
Jag har inte hittat mycket information tillgänglig om detta ämne på nätet. Wikipedia har ett avsnitt om hur FEM skiljer sig från ändlig skillnad metod, men det handlar om det, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Kommentarer
- Här är min åsikt om frågan (mot slutet): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Jag har skrivit detta i detalj i min blogg Skillnaden mellan FEM, FVM och FDM
Svar
Endligt element: volymetriska integraler, intern polynomordning
Klassiska ändliga elementmetoder antar e kontinuerliga eller svagt kontinuerliga approximationsutrymmen och be om att volymintegraler av den svaga formen ska uppfyllas. Ordningsföljden ökas genom att höja uppskattningsordningen inom elementen. Metoderna är inte exakt konservativa och kämpar därför ofta med stabilitet för diskontinuerliga processer.
Endlig volym: ytintegraler, flöden från diskontinuerliga data, rekonstruktionsordning
Endliga volymmetoder använder bitvis konstant approximation mellanslag och be om integraler mot styckevis konstanta testfunktioner för att vara uppfyllda. Detta ger exakta bevarandeuttalanden. Volymintegralen konverteras till en ytintegral och hela fysiken specificeras i termer av flöden i dessa ytintegraler. För första ordningens hyperboliska problem är detta en Riemann-lösning. Andra ordning / elliptiska flöden är mer subtila. Noggrannhetsordningen ökas genom att använda grannar för att (konservativt) rekonstruera högre ordningsrepresentationer av tillståndet inuti element (lutningsrekonstruktion / begränsning) eller genom rekonstruering av flöden (flödesbegränsning). Rekonstruktionsprocessen är vanligtvis olinjär för att kontrollera svängningar kring diskontinuerliga funktioner i lösningen, se total variation minskande (TVD) och i huvudsak icke-oscillerande (ENO / WENO) metoder. En icke-linjär diskretisering är nödvändig för att samtidigt få både högre än första ordens noggrannhet i jämna regioner och begränsad total variation över diskontinuiteter, se Godunovs sats .
Kommentarer
Både FE och FV är enkla att definiera upp till andra ordningens noggrannhet på ostrukturerade galler. FE är lättare att gå utöver andra ordningen på ostrukturerade galler. FV hanterar icke-överensstämmande nät lättare och mer robust .
Kombinera FE och FV
Metoderna kan gifta sig på flera sätt. Diskontinuerliga Galerkin-metoder är ändliga elementmetoder som använder diskontinuerliga basfunktioner, vilket ger Riemann-lösare och mer robusthet för diskontinuerliga processer (särskilt hyperboliska). DG-metoder kan användas med icke-linjära begränsare (vanligtvis med viss minskning i noggrannhet), men tillfredsställer en cellvis entropi ojämlikhet utan att begränsa och kan således användas utan att begränsa för vissa problem där andra system kräver begränsare. ( Detta är speciellt allierad användbar för adjoint-baserad optimering eftersom det gör den diskreta adjointen mer representativ för de kontinuerliga adjoint-ekvationerna.) Blandade FE-metoder för elliptiska problem använder diskontinuerliga basfunktioner och efter några val av kvadratur kan de tolkas om igen som standardmetoder för ändlig volym, se detta svar för mer. Rekonstruktion DG-metoder (aka $ P_N P_M $ eller ”Recovery DG”) använder både FV-liknande konservativ rekonstruktion och intern orderanrikning och är därmed en övergrupp av FV- och DG-metoder.
Svar
De konceptuella skillnaderna mellan FEM och FVM är lika subtila som skillnaderna mellan ett träd och en tall.
Om du jämför ett visst FEM-schema till FVM-diskretiseringen på ett visst problem kan du tala om grundläggande skillnader som blir uppenbara i olika implementeringsmetoder och olika approximationsegenskaper (som @Jed Brown har lagt fram i sitt svar).
Men i allmänhet skulle jag säga att FVM är ett speciellt fall av FEM, som använder ett rutnät av celler och styckevis konstanta testfunktioner. Denna relation används också för konvergensanalys av FVM eftersom den kan hittas i boken av Grossmann, Roos & Stynes: Numerisk behandling av partiella differentialekvationer .
Svar
Den grundläggande skillnaden är helt enkelt meningen för att bifogas resultaten. FDM förutsäger punktvärden för alla aspekter av lösningen. Interpolering mellan dessa värden lämnas ofta åt användarens fantasi. FVM förutsäger medelvärden för konserverade variabler inom specifika kontrollvolymer. Därför förutsäger det de integrerade konserverade variablerna och kan visas att konvergera till svaga (diskontinuerliga) lösningar. FEM ger en uppsättning diskreta värden från vilka en ungefärlig lösning kan härledas otvetydigt överallt genom att åberopa en uppsättning basfunktioner. Vanligtvis men inte nödvändigtvis är variablerna inblandade konservativa. Det är möjligt att ha begränsade skillnadsmetoder som är konservativa i någon mening enligt en viss kvadraturregel.
Detta är definitionsfrågor. Det finns många variationer av alla tre metoderna. Inte alla metoder är rent av en typ, och detaljerna varierar mellan applikationsområdena. Forskare som uppfinner en ny metod använder de verktyg som hjälper till att tillhandahålla de egenskaper som de letar efter. Det är, som du verkar ha funnit, svårt att hitta en auktoritativ diskussion och det skulle vara svårt för mig att ge en. Det bästa rådet jag kan ge är att fortsätta läsa utan att förvänta mig ett helt klart svar, men att ge tilltro till de saker som är vettiga för dig.