Der er en åbenbar forskel mellem endelig forskel og den endelige volumenmetode (bevæger sig fra punktdefinition af ligningerne til integrale gennemsnit over celler). Men jeg finder FEM og FVM meget ens; de bruger begge integreret form og gennemsnit over celler.
Hvad laver FEM-metoden, som FVM ikke er? Jeg har læst lidt baggrund om FEM. Jeg forstår, at ligningerne er skrevet i svag form, dette giver metoden et lidt andet angivelsespunkt end FVM. Jeg forstår dog ikke på et begrebsmæssigt niveau, hvad forskellene er. Gør FEM en antagelse om, hvordan det ukendte varierer inde i cellen, kan det ikke også gøres med FVM?
Jeg er for det meste kommer fra 1D-perspektiv, så måske har FEM fordele med mere end en dimension?
Jeg har ikke fundet meget information tilgængelig om dette emne på nettet. Wikipedia har et afsnit om, hvordan FEM er forskellig fra endelig forskel metode, men det handler om det, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Kommentarer
- Her er min opfattelse af problemet (mod slutningen): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Jeg har skrevet dette detaljeret i min blog Forskellen mellem FEM, FVM og FDM
Svar
Endeligt element: volumetriske integraler, intern polynomisk rækkefølge
Klassiske endelige elementmetoder antages e kontinuerlige eller svagt kontinuerlige tilnærmelsesrum og bede om volumetriske integraler af den svage form for at blive opfyldt. Nøjagtighedsrækkefølgen øges ved at hæve tilnærmelsesrækkefølgen inden for elementer. Metoderne er ikke ligefrem konservative, så de kæmper ofte med stabilitet for diskontinuerlige processer.
Endelig volumen: overfladeintegraler, strømninger fra diskontinuerlige data, rekonstruktionsrækkefølge
Endelige volumenmetoder bruger stykkevis konstant tilnærmelse mellemrum og bede om integraler mod stykkevis konstante testfunktioner for at blive opfyldt. Dette giver nøjagtige bevaringserklæringer. Volumenintegralet konverteres til en overfladeintegral, og hele fysikken er specificeret i form af strømninger i disse overfladeintegraler. For førsteordens hyperbolske problemer er dette en Riemann-løsning. Anden orden / elliptiske strømninger er mere subtile. Nøjagtighedsrækkefølgen forøges ved at bruge naboer til (konservativt) at rekonstruere højere ordens repræsentationer af tilstanden inde i elementer (hældningsrekonstruktion / begrænsning) eller ved at rekonstruere strømninger (fluxbegrænsning). Genopbygningsprocessen er normalt ikke-lineær for at kontrollere svingninger omkring diskontinuerlige træk ved løsningen, se total variation aftagende (TVD) og i det væsentlige ikke-oscillerende (ENO / WENO) metoder. En ikke-lineær diskretisering er nødvendig for samtidig at opnå både højere end første ordens nøjagtighed i glatte regioner og afgrænset total variation på tværs af diskontinuiteter, se Godunovs sætning .
Kommentarer
Både FE og FV er lette at definere op til anden ordens nøjagtighed på ustrukturerede gitre. FE er lettere at gå ud over anden ordre på ustrukturerede gitre. FV håndterer ikke-tilpassede masker lettere og mere robust .
Kombination af FE og FV
Metoderne kan giftes på flere måder. Diskontinuerlige Galerkin-metoder er endelige elementmetoder, der bruger diskontinuerlige basisfunktioner, hvorved Riemann-løsere opnås og mere robusthed til diskontinuerlige processer (især hyperbolsk). DG-metoder kan anvendes med ikke-lineære begrænsere (normalt med en vis reduktion i nøjagtighed), men tilfredsstiller en cellevis entropiulighed uden begrænsning og kan således bruges uden at begrænse nogle problemer, hvor andre ordninger kræver begrænsere. ( Dette er specielt allieret nyttig til adjoint-baseret optimering, da det gør den diskrete adjoint mere repræsentativ for de kontinuerlige adjoint-ligninger.) Blandede FE-metoder til elliptiske problemer bruger diskontinuerlige basisfunktioner og efter nogle valg af kvadratur kan de fortolkes som standardmetoder for endelig volumen, se dette svar for mere. Genopbygning DG-metoder (aka $ P_N P_M $ eller “Recovery DG”) bruger både FV-lignende konservativ rekonstruktion og intern ordreberigelse og er således et superset af FV- og DG-metoder.
Svar
De konceptuelle forskelle mellem FEM og FVM er lige så subtile som forskellene mellem et træ og en fyr.
Hvis du sammenligner et bestemt FEM-skema til FVM-diskretiseringen anvendt på et bestemt problem, så kan du tale om grundlæggende forskelle, der bliver tydelige i forskellige implementeringsmetoder og forskellige tilnærmelsesegenskaber (som @Jed Brown har beskrevet i sit svar).
Men generelt vil jeg sige, at FVM er et specielt tilfælde af FEM, der bruger et gitter af celler og stykkevis konstante testfunktioner. Denne relation bruges også til konvergensanalyse af FVM, da den kan findes i bogen af Grossmann, Roos & Stynes: Numerisk behandling af partielle differentialligninger .
Svar
Den grundlæggende forskel er simpelthen meningen for at blive knyttet til resultaterne. FDM forudsiger punktværdier for ethvert aspekt af løsningen. Interpolation mellem disse værdier overlades ofte til brugerens fantasi. FVM forudsiger gennemsnit af konserverede variabler inden for specifikke kontrolvolumener. Derfor forudsiger det de integrerede konserverede variabler og kan vises at konvergere til svage (diskontinuerlige) løsninger. FEM giver et sæt diskrete værdier, hvorfra en omtrentlig løsning entydigt kan udledes overalt ved at påberåbe sig et sæt basisfunktioner. Normalt, men ikke nødvendigvis, er de involverede variabler konservative. Det er muligt at have begrænsede forskelmetoder, der er konservative i en eller anden forstand i henhold til en bestemt kvadraturregel.
Dette er definitionsspørgsmål. Der er mange variationer af alle tre metoder. Ikke alle metoder er rent af en type, og detaljerne varierer mellem applikationsområder. Forskere, der opfinder en ny metode, anvender de værktøjer, der hjælper med at levere de egenskaber, de leder efter. Det er, som du synes at have fundet, vanskeligt at finde en autoritativ diskussion, og det ville være svært for mig at give en. Det bedste råd, jeg kan give, er at fortsætte med at læse uden at forvente et helt klart svar, men at give tillid til de ting, der giver mening for dig.