Nyilvánvaló különbség van a véges különbség és a véges térfogat módszer között (az egyenletek pontdefiníciójából a cellák feletti integrált átlagok felé haladva). De a FEM-t és az FVM-t nagyon hasonlónak találom; mindkettő integrált formát és átlagot használ a cellák fölött.
Mit csinál a FEM módszer, hogy az FVM nem? Olvastam egy kis hátteret a FEM-ről. Megértem, hogy az egyenleteket gyenge formában írják, ez a metódusnak kissé eltérő állítási pontot ad, mint az FVM. Fogalmi szinten azonban nem értem, mi a különbség. Feltesz-e a FEM valamilyen feltételezést arra vonatkozóan, hogy az ismeretlen hogyan változik a cellán belül, nem lehet ezt megtenni az FVM-mel is?
Leginkább az vagyok 1D perspektívából származik, tehát talán a FEM-nek egynél több dimenzióval vannak előnyei?
Nem találtam sok információt a témáról a neten. A Wikipédia rendelkezik egy részvel arról, hogy a FEM hogyan különbözik a véges különbségtől metódus, de ennyi van, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Megjegyzések
- Itt áll a kérdésem (a vége felé): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Ezt részletesen leírtam a blogomban A FEM, az FVM és az FDM közötti különbség
Válasz
Véges elem: volumetrikus integrálok, belső polinom sorrend
A klasszikus végeselem-módszerek feltételezése e folytonos vagy gyengén folytonos közelítési tereket, és kérje a gyenge forma volumetrikus integráljainak kielégítését. A pontosság sorrendjét növeli az elemek közötti közelítési sorrend emelése. A módszerek nem éppen konzervatívak, ezért gyakran a stabilitásért küzdenek a folytonos folyamatokért.
Véges térfogat: felületi integrálok, folytonos adatokból származó fluxusok, rekonstrukciós sorrend
A véges térfogatú módszerek darabonként állandó közelítést alkalmaznak szóközöket, és kérje az integrálok elválasztását darabonkénti állandó tesztfunkciókkal szemben. Ez pontos védelmi nyilatkozatokat ad. A térfogatintegrált felületintegrálissá alakítják, és a teljes fizikát az adott felületi integrálok fluxusaiban határozzák meg. Első rendű hiperbolikus problémák esetén ez egy Riemann-megoldás. A másodrendű / elliptikus fluxusok finomabbak. A pontossági sorrend növelhető a szomszédok segítségével (konzervatív módon) az elemek belső állapotának magasabb rendű reprezentációinak rekonstrukciójához (lejtésrekonstrukció / korlátozás) vagy fluxusok rekonstrukciójával (fluxuskorlátozás). A rekonstrukciós folyamat általában nemlineáris a megoldás szakaszos jellemzői körüli rezgések szabályozására, lásd a teljes variációcsökkentő (TVD) és lényegében nem oszcillációs (ENO / WENO) módszereket. Nemlineáris diszkrétizációra van szükség annak érdekében, hogy egyszerre érje el az elsőrendű pontosságot a sima régiókban és a korlátozott teljes variációt is a folytonosságok között, lásd Godunov tétel .
Megjegyzések
Az FE és az FV egyaránt könnyen meghatározhatók a másodrendű pontosságig strukturálatlan hálózatokon. Az FE könnyebben átlépi a strukturálatlan rácsokon a másodrendet. Az FV könnyebben és robusztusabban kezeli a nem megfelelő hálókat .
FE és FV kombinálása
A módszerek többféleképpen házasodhatnak össze. A folytonos Galerkin-módszerek végeselemes módszerek, amelyek szakaszos bázisfüggvényeket használnak, így megszerezve a Riemann-féle megoldókat és nagyobb robusztusságot a megszakításokhoz. folyamatok (különösen hiperbolikusak). A DG-módszerek nemlineáris korlátozókkal is használhatók (általában némi pontosságcsökkenéssel), de korlátozás nélkül kielégítik a sejtek szerinti entrópia-egyenlőtlenségeket, és így korlátozások nélkül is alkalmazhatók bizonyos problémák esetén, ahol más sémák korlátozókat igényelnek. Ez az especi szövetséges hasznos az adjoint-alapú optimalizáláshoz, mivel ez a diszkrét adjoint reprezentatívabbá teszi a folyamatos adjoint-egyenletekre.) Az ellipszisproblémákra alkalmazott vegyes FE-módszerek szakaszos bázisfüggvényeket használnak, és a kvadrátus egyes választásai után újra értelmezhetők standard véges térfogat-módszerekként, lásd ez a válasz további információkért. Az újjáépítési főigazgatósági módszerek (más néven: $ P_N P_M $ vagy “Helyreállítási főigazgatóság”) mind az FV-szerű konzervatív rekonstrukciót, mind a belső sorrend gazdagítását használják, és így az FV és a DG módszerek felülhalmazát jelentik.
Válasz
A FEM és az FVM fogalmi különbségei ugyanolyan finomak, mint a fa és a fenyő közötti különbségek.
Ha összehasonlítasz egy bizonyos FEM sémát az FVM diszkretizálásához, amelyet egy adott problémára alkalmaztak, akkor alapvető különbségekről beszélhetünk, amelyek nyilvánvalóvá válnak a különböző megvalósítási megközelítésekben és a különböző közelítési tulajdonságokban (ahogy @Jed Brown kifejtette válaszában).
De általában azt mondanám, hogy az FVM a FEM speciális esete, rács cellákat és darabonként állandó tesztfunkciókat használ. Ezt a viszonyt az FVM konvergencia-elemzésére is használják, mivel ez megtalálható Grossmann, Roos & Stynes: Parciális differenciálegyenletek numerikus kezelése .
Válasz
Az alapvető különbség egyszerűen a jelentés csatolni kell az eredményekhez. Az FDM megjósolja a megoldás bármely aspektusának pontértékét. Ezen értékek közötti interpolációt gyakran a felhasználó fantáziájára bízzák. Az FVM megjósolja a konzervált változók átlagát egy adott kontroll térfogaton belül. Ezért megjósolja az integrált konzervált változókat, és kimutatható, hogy konvergálnak gyenge (szakaszos) megoldásokra. A FEM olyan diszkrét értékek halmazát adja, amelyekből egy megközelítő megoldás mindenhol egyértelműen levezethető az alapfüggvények halmazának meghívásával. Általában, de nem feltétlenül, az érintett változók konzervatívak. Lehetséges olyan véges különbség-módszerek, amelyek bizonyos értelemben konzervatívak, egy adott kvadrátusszabály szerint.
Ezek meghatározási kérdések. Mindhárom módszer sokféle változatban létezik. Nem minden módszer tisztán egy típusú, és a részletek az alkalmazási területek szerint változnak. Az új módszert feltaláló kutatók olyan eszközöket alkalmaznak, amelyek segítenek a keresett tulajdonságok biztosításában. Mint látszólag kiderült, nehéz mérvadó vitát találni, és nehéz lenne ezt előadnom. A legjobb tanács, amit tudok adni, az az, hogy folytassam az olvasást, anélkül, hogy teljesen egyértelmű választ várnék, hanem hitelt adnék az Ön számára értelmes dolgoknak.