Come derivare queste formule generali per il numero di stereoisomeri di un composto con un possibile piano di simmetria?

Sono riuscito per decifrare la formula per isomeri ottici con centri chirali dispari , quindi condividerò il mio tentativo qui. Si spera che altri possano innovare su it e pubblicare soluzioni per altre formule.

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Atomi di carbonio pseudo-chirali – unintroduzione

Il Libro dOro definisce atomo di carbonio pseudo-chirale / pseudo-asimmetrico come:

un atomo di carbonio coordinato tetraedralmente legato a quattro entità differenti, due e solo due delle quali hanno la stessa costituzione ma senso di chiralità opposto.

Ciò implica che, nel tuo caso:

Se gli atomi di carbonio chirali 2 e 3 hanno entrambi la configurazione R (o entrambi S), il carbonio centrale 3 sarà achirale / simmetrico, perché ora “due e solo due dei suoi gruppi che hanno la stessa costituzione” avranno invece lo stesso senso di chiralità. (Il tuo approccio per “piano di simmetria” è sbagliato. Trova maggiori dettagli su questa domanda )

Quindi, può essere due stereoisomeri ( r e s ) possibili sul 3 ° carbonio a causa della sua pesudochiralità. Ma ci sarà solo uno se entrambi i sostituenti a sinistra ea destra hanno le stesse configurazioni ottiche.

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Costruire unintuizione con il conteggio manuale

Per gli isomeri ottici con un numero dispari di centri chirali e estremità simili, puoi immaginare che, se ci sono $ n $ centri chirali, allora il centro ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) atomo di carbonio sarà pseudo-chirale. Per sviluppare unintuizione, conteremo manualmente gli isomeri ottici per $ n = 3 $ e $ n = 5 $ :

Case $ n = 3 $

Prendi lesempio di pentano-2,3,4- triolo stesso. Troviamo quattro (= $ 2 ^ {n-1} $ ) isomeri:

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Come previsto dalla formula pertinente, troviamo che i primi due ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) sono composti meso e i restanti due ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) sono enantiomeri.

Case $ n = 5 $

Prendi il esempio di eptano-2,3,4,5,6-pentolo:

Ci aspettiamo $ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ isomeri, con il carbonio C4 come pseudo- chirale. Per evitare una tabella molto grande, osserviamo che il numero di isomeri meso è facilmente numerabile (< < numero di enantiomeri). Ecco una tabella di quei quattro (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) isomeri meso:

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Notare che gli isomeri ottici totali sono dati da $ 2 ^ {n-1} $ isomeri (più su quello sotto). Quindi, il numero di enantiomeri è facilmente $ 12 (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .

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Una formula per il numero di isomeri meso

Come avrai notato dalla tabella, la sequenza delle configurazioni ottiche, quando letta dal quarto atomo di carbonio, è esattamente lo stesso sia a sinistra che a destra. In altre parole, se fissiamo una permutazione arbitraria per le configurazioni ottiche degli atomi di carbonio a sinistra (diciamo RSS ), allora otterremo solo una permutazione unica del configurazioni ottiche a destra ( SSR ).

Sappiamo che ogni carbonio a sinistra ha due scelte ( R o S ) e ci sono $ \ frac {n-1} {2} $ atomi di carbonio a sinistra. Quindi, il numero totale di permutazioni sarà $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

Poiché la nostra descrizione (“la sequenza delle configurazioni ottiche, quando letta dal quarto atomo di carbonio, è esattamente la stessa sia a sinistra che a destra”) descrive em> meso isomeri, abbiamo quindi contato il numero di meso isomeri, che è $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .

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Una formula per il numero di isomeri totali

Notiamo che ci sono $ n $ carboni chirali ( compreso quello pseudo chirale di carbonio). Di nuovo, ogni carbonio chirale ha $ 2 $ scelte. Quindi, il numero massimo possibile di isomeri ottici è $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ . Questo è il massimo possibile, non il numero totale effettivo di isomeri, che è molto più basso.

La riduzione del numero di isomeri è dovuta al fatto che la stringa di configurazioni ottiche legge esattamente lo stesso da entrambi i terminali di carbonio . Esempio: RSsRS è uguale a SRsSR . Ciò accade perché il composto ha “estremità simili”

Quindi, ogni permutazione è stata contata esattamente due volte . Pertanto, il numero totale effettivo di isomeri è la metà del massimo possibile ed è $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .

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Conclusione

Quindi, abbiamo dedotto che, se “n” (numero di centri chirali) è dispari per un composto con estremità simili, allora:

• $ \ text {Number of meso isomers} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {Numero totale di isomeri ottici} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {Numero di enantiomeri} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

Commenti

• Riguardo alla tua affermazione nella parte introduttiva: ” Se i carboni chirali 2 e 3 hanno entrambi la configurazione R (o entrambi S), allora il carbonio centrale 3 sarà achirale / simmetrico, … “: Penso che tu abbia concluso che una tale molecola sarebbe achirale a causa dellassenza di un carbonio pseudo-asimmetrico. La tua domanda collegata si occupa del caso opposto in cui la molecola ha un carbonio pseudo-asimmetrico ma è achirale. Allo stesso modo, anche se la molecola manca di un centro pseudo-asimmetrico, può essere chirale. ‘ non è importante per il nostro scopo di conteggio, ma volevo prenderne nota.

Possiamo calcolare no. di isomeri ottici per molecole a catena lineare con n. pari e dispari. dei centri chirali molto facilmente osservando le simmetrie e usando semplici logiche matematiche. Elaborerò brevemente anche il no. dei centri. Strano no. i casi possono anche essere calcolati da unidea simile.

Molecola anche con no. di Chiral Carbon Center dove la molecola può essere divisa in due metà uguali

Calcolo del totale n. degli isomeri ottici includono il calcolo delle forme Meso e delle coppie enantiomeriche. In tal caso, (e anche per il numero dispari di centri di carbonio chirali) il calcolo delle forme meso è molto semplice.

Per il calcolo di n. di isomeri meso , considera una molecola a catena lineare generale con addirittura no. di centri chirali (diciamo, $ n = 2k $) come sotto,

I gruppi ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) sono disposti in modo da rappresentare un composto meso in generale.
Ora osserva che tra $ k $ esimo e $ k + 1 $ esimo Centro del carbonio, da un piano immaginario la molecola può essere divisa in due metà uguali. Ecco perché, nel suo insieme, la molecola di cui sopra è un composto Meso. Ora, per diventare un composto meso, anche un isomero di questo composto deve essere simmetrico rispetto a questo piano immaginario .
Quindi, possiamo solo modificare la configurazione degli atomi di carbonio $ k $ superiori o inferiori $ k $ per formare un nuovo composto Meso, perché la configurazione dellatomo di carbonio simmetrico cambierà automaticamente per mantenere la simmetricità.
Ora possiamo cambiare $ 0 $ atomo (cioè il nostro composto di partenza) $ 1 $ atomo di carbonio o $ 2 $ atomi o $ 3 $ atomi e così via fino a $ k $, e quindi stiamo effettivamente calcolando ogni isomero due volte. Perché, linversione di $ k-1 $ atomi non è altro che limmagine speculare dellinversione di $ 1 $ atomo ($ k $ esimo atomo) che è già considerata in precedenza.
Pertanto, il numero totale di composti Meso = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$ che ci fornisce il risultato.

Ora per coppie enantiomeriche , aggiusta il primo centro Chiral Carbon ($ \ ce {C_1} $), perché se non lo aggiustiamo finiremo per contare anche le immagini speculari, che non vogliamo contare coppie. Ora, fissa il suo atomo di carbonio simmetricamente opposto ($ \ ce {C_ {2k}} $) come la configurazione relativa opposta a $ \ ce {C_1} $ cioè $ A_3 $ a sinistra e $ A_2 $ a destra. i restanti $ n-2 $ centri possono essere orientati in $ 2 ^ {n-2} $ modi e tutti saranno differenti isomeri otticamente attivi e non ci sono nemmeno immagini speculari. Pertanto, le coppie enantiomeriche saranno = $ 2 ^ {n-2} $.
Quindi, totale no.di isomeri ottici = $ 2 \ times 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

Per, dispari no. di atomi di carbonio anche unidea simile può essere applicata. Se prendi $ n = 2k + 1 $, no. di isomeri meso sarà, $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ La logica alla base e la parte restante è lasciata al lettore su cui riflettere …

Commenti

• mentre calcoli gli enantiomeri, perché hai corretto la configurazione relativa di C1 opposta a C2k?
• @shreya La correzione della configurazione relativa di C1 deve essere fatta perché in realtà vogliamo contare coppie enantiomeriche distinte per essere precisi e dopo aver calcolato coppie distinte possiamo moltiplicarlo per 2 per ottenere gli enantiomeri totali. Ora, questo concetto di fissaggio è fondamentalmente simile alle permutazioni delle persone attorno a una tavola rotonda se si pensa attentamente. Se riesci a capire le permutazioni attorno a una tavola rotonda, questo problema è in realtà molto simile. E anche la molecola nel suo complesso dovrebbe essere divisibile in due metà uguali e quindi il fissaggio dovrebbe essere fatto anche per C2k.