Hvordan utlede disse generelle formlene for antall stereoisomerer av en forbindelse med et mulig symmetriplan?

Jeg klarte for å knekke formelen for optiske isomerer med rare chirale sentre , så jeg deler forsøket mitt her. Forhåpentligvis kan andre innovere på det og legge ut løsninger for andre formler.

---

Pseudokirale karbonatomer – en introduksjon

Gullboken definerer pseudo-chiral / pseudo-asymmetrisk karbonatom som:

et tetraedrisk koordinert karbonatom bundet til fire forskjellige enheter, hvorav to og bare to har samme konstitusjon, men motsatt chiralitetssans.

Dette innebærer at i ditt tilfelle:

Hvis chirale karbonatomer 2 og 3 begge har konfigurasjon R (eller begge S), vil det sentrale karbon 3 være achiral / symmetrisk, fordi nå «to og bare to av gruppene som har samme konstitusjon» vil ha samme chiralitetssans i stedet. (Din tilnærming med «plan av symmetri» er feil. Finn mer informasjon om dette spørsmålet )

Derfor, der kan være to stereoisomerer ( r og s ) mulig på tredje karbon på grunn av dets pesudokiralitet. Men det vil bare være en hvis begge substituentene til venstre og høyre har de samme optiske konfigurasjonene.

---

Å bygge opp en intuisjon ved manuell telling

For optiske isomerer med ulikt antall chirale sentre og lignende ender, kan du gjette at hvis det er $ n $ chirale sentre, så er midten ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) karbonatom vil være pseudokiralt. For å bygge opp en intuisjon teller vi optiske isomerer manuelt for $ n = 3 $ og $ n = 5 $ :

Tilfelle $ n = 3 $

Ta eksemplet med pentan-2,3,4- triol selv. Vi finner fire (= $ 2 ^ {n-1} $ ) isomerer:

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Som forventet fra den relevante formelen, finner vi at de to første ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) er meso-forbindelser, og de resterende to ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) er enantiomerer.

Sak $ n = 5 $

Ta eksempel på heptan-2,3,4,5,6-pentol:

Vi forventer $ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ isomerer, med C4-karbon som pseudo- chiral. For å unngå en veldig stor tabell observerer vi at antall meso-isomerer er lett å telle (< < antall enantiomerer). Her er en tabell over disse fire (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) meso-isomerer:

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Merk at de totale optiske isomerer er gitt av $ 2 ^ {n-1} $ isomerer (mer om det nedenfor). Derfor er antallet enantiomerer $ 12 (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .

---

En formel for antall meso-isomerer

Som du må ha observert fra tabellen, er sekvensen av optiske konfigurasjoner, når den leses fra det fjerde karbonatomet, nøyaktig den samme mot både venstre og høyre. Med andre ord, hvis vi fikser en vilkårlig permutasjon for de optiske konfigurasjonene av karbonatomene til venstre (si RSS ), så får vi bare en unik permutasjon av optiske konfigurasjoner til høyre ( SSR ).

Vi vet at hvert karbon til venstre har to valg ( R eller S ), og det er $ \ frac {n-1} {2} $ karbonatomer til venstre. Derfor vil det totale antallet permutasjoner være $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

Siden beskrivelsen vår («sekvensen av optiske konfigurasjoner, når den er lest fra det fjerde karbonatomet, er nøyaktig den samme på både venstre og høyre») beskriver meso isomerer, vi har derfor talt antall meso-isomerer, som er $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .

---

En formel for antall totale isomerer

Vi bemerker at det er $ n $ chirale karbonatomer ( inkludert det pseudokirale karbonet). Igjen har hvert chiralt karbon $ 2 $ valg. Derfor er maksimalt mulig antall optiske isomerer $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ . Dette er maksimalt mulig, ikke faktisk totalt antall isomerer, som er mye lavere.

Reduksjonen i antall isomerer skyldes at strengen av optiske konfigurasjoner leser nøyaktig den samme fra begge terminale karbon . Eksempel: RSsRS er det samme som SRsSR . Dette skjer fordi forbindelsen har «lignende ender»

Derfor har hver permutasjon blitt tellet nøyaktig to ganger . Dermed er det faktiske totale antallet isomerer halvparten av det maksimale mulige, og er $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .

---

Konklusjon

Derfor har vi utledet at hvis «n» (antall chirale sentre) er merkelig for en forbindelse med lignende ender, så:

• $ \ text {Antall meso-isomerer} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {Totalt antall optiske isomerer} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {Antall enantiomerer} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

Kommentarer

• Angående uttalelsen din under innledningsdelen: » Hvis chirale karbonatomer 2 og 3 begge har konfigurasjon R (eller begge S), så er det sentrale karbonet 3 vil være achiral / symmetrisk, … «: Jeg tror du konkluderte med at et slikt molekyl ville være achiral på grunn av fraværet av et pseudo-asymmetrisk karbon. Det tilknyttede spørsmålet ditt handler om det motsatte tilfellet der molekylet har et pseudo-asymmetrisk karbon, men er achiralt. Tilsvarende, selv om molekylet mangler et pseudo-asymmetrisk senter, kan det være chiralt. Det betyr ikke ‘ for vårt telleformål, men jeg ønsket å notere det.

Vi kan beregne nei. av optiske isomerer for rettkjedede molekyler med jevnt og merkelig nei. av Chiral sentre veldig enkelt ved å observere symmetrier og bruke enkle matematiske logikker. Jeg vil kort utdype til og med nei. av sentre. Odd nr. saker kan også beregnes etter lignende ide.

Molekyl med enda nei. av Chiral Carbon Centers der molekylet kan deles i to like halvdeler

Beregning av totalnr. av optiske isomerer inkluderer beregning av Meso-former og enantiomeriske par. I så fall er (og også for Odd nr. Av chirale karbonsentre) beregning av mesoformer veldig enkelt.

For beregning av nr. av Meso-isomerer , vurder et generelt rettkjedet molekyl med til og med nr. av chirale sentre (si $ n = 2k $) som nedenfor,

Gruppene ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) er ordnet slik at de representerer en mesoforbindelse generelt.
Vær oppmerksom på at mellom $ k $ th og $ k + 1 $ th Carbon sentrum, med et imaginært plan, kan molekylet deles i to like halvdeler. Derfor er det ovennevnte molekylet en Meso-forbindelse. For å bli en mesoforbindelse, må en isomer av denne forbindelsen også være symmetrisk med dette imaginære planet .
Så, vi kan bare endre konfigurasjon av de øvre $ k $ eller lavere $ k $ Carbon-atomer for å danne en ny Meso-forbindelse, fordi konfigurasjonen av det symmetriske karbonatomet vil automatisk endres for å opprettholde symmetri.
Nå kan vi endre $ 0 $ atom (dvs. startmassen vår) $ 1 $ Karbonatom eller $ 2 $ atomer eller $ 3 $ atomer og så videre opp til $ k $, og dermed beregner vi faktisk hver isomerer to ganger. Fordi inversjon av $ k-1 $ -atomer ikke er noe annet enn speilbildet av inversjon av $ 1 $ atom ($ k $ th atom) som allerede er vurdert tidligere.
Dermed totalt antall Meso-forbindelser = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$ som gir oss resultatet.

Nå for Enantiomere par , fikse det første Chiral Carbon-senteret ($ \ ce {C_1} $), fordi hvis vi ikke fikser det, vil vi ende opp med å telle speilbilder også, som vi ikke ønsker å telle par. Nå, fikse det symmetrisk motsatte karbonatomet ($ \ ce {C_ {2k}} $) som den relative konfigurasjonen motsatt til $ \ ce {C_1} $ dvs. $ A_3 $ til venstre og $ A_2 $ til høyre. gjenværende $ n-2 $ sentre kan orienteres på $ 2 ^ {n-2} $ måter, og alle vil være forskjellige optisk aktive isomerer, og det er ingen speilbilder også. Dermed vil enantiomere par være = $ 2 ^ {n-2} $.
Så, totalt nei.av optiske isomerer = $ 2 \ ganger 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

For, odd nr. av karbonatomer kan også lignende ideer brukes. Hvis du tar $ n = 2k + 1 $, nei. av meso-isomerer vil være, $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ Logikken bak og den gjenværende delen er igjen for leseren å tenke på …

Kommentarer

• mens du beregner enantiomerer, hvorfor fikste du relativ konfigurasjon av C1 motsatt C2k?
• @shreya Fiksingen av relativ konfigurasjon av C1 må gjøres fordi vi faktisk vil telle forskjellige Enantiomerpar for å være presise , og etter å ha beregnet forskjellige par kan vi multiplisere det med 2 for å få totale enantiomerer. Nå er dette fikse-konseptet i utgangspunktet lik permutasjonene til mennesker rundt et rundt bord hvis du tenker nøye. Hvis du kan forstå permutasjoner rundt et rundt bord, er dette problemet veldig likt. Og også molekylet totalt sett skal deles i to like halvdeler, og fiksering bør derfor også gjøres for C2k.