Deze formules worden gebruikt als het molecuul een mogelijk symmetrievlak heeft. Een voorbeeld hiervan is:
Hier zijn de koolstofatomen die gemarkeerd zijn met een asterisk stereogene centra (de asterisk wordt niet gebruikt om isotopen te markeren). We kunnen duidelijk zien dat als koolstof nummer 2 (in de gehele langste keten) en koolstof nummer 4 een tegengestelde stereogene configuratie hebben, het molecuul achiraal zal zijn omdat het een symmetrievlak zal hebben. (2R, 3S, 4S) -pentaantriol zal bijvoorbeeld een mesoverbinding zijn met een symmetrievlak. Deze verbinding voldoet duidelijk aan de criteria die we hebben gesteld voor het type moleculen dat wordt besproken.
Laten we een ander voorbeeld nemen.
Nogmaals, we zien dat als het molecuul dezelfde geometrische configuratie bij de eerste en de derde dubbele binding, dan heeft het molecuul een symmetrievlak. Bijvoorbeeld, (2,7) -diphenylocta- (2Z, 4E, 6Z) -trieen duidelijk heeft een symmetrievlak.
Ons doel is om het totale aantal stereo-isomeren die dergelijke verbindingen in totaal kunnen hebben. We kunnen aannemen dat een molecuul niet beide heeft, een dubbele binding en een chiraal centrum.
In onze klasnotities hebben we deze formules geschreven:
Voor geometrische isomeren (dwz in het geval van polyenen),
- Als “n” even is (hier is n het aantal dubbele bindingen): $$ \ text {Number of stereoisomers} = 2 ^ {n-1} + 2 ^ {n / 2-1} $$
- Als” n “oneven is , dan: $$ \ text {Number of stereoisomers} = 2 ^ {n-1} +2 ^ {(n-1) / 2} $$
En voor optische isomeren (moleculen met chirale centra):
- Als “n” even is (hier is n het aantal chirale centra): $$ \ text {Number of enantiomers} = 2 ^ {n-1} $$ $$ \ text {Number of meso compounds} = 2 ^ {n / 2-1} $$ $$ \ text {Totaal aantal optische isomeren} = 2 ^ {n-1} + 2 ^ {n / 2-1} $$
- Als “n” oneven is: $$ \ text {Number of enantiomers} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $$ $$ \ text {Number of meso compounds} = 2 ^ {(n-1) / 2} $$ $$ \ text {Totaal aantal optische isomers} = 2 ^ {n-1} $$
Hoe deze formules af te leiden?
Reacties
- gerelateerd chemistry.stackexchange.com/questions/46674/… chemistry.stackexchange.com/questions/10620/…
- Hoeveel strings van lengte $ n $ met alleen de tekens ” A ” en ” B ” zijn palindromen?
- @f ‘ ‘ Ik heb geprobeerd dezelfde methode te gebruiken! Maar ik ‘ m krijg een andere formule voor optische isomeren als ‘ n ‘ vreemd is (Ik krijg er een die identiek is aan n = oneven voor geometrische isomeren).
- O, ik begrijp het. Dit geval is lastiger vanwege het centrale stereocentrum. Als de linker- en rechterzijde identieke configuraties hebben, dan is het geen stereocentrum meer omdat het twee identieke substituenten heeft, dus je hebt eigenlijk maar half zoveel isomeren van dit soort als je zou verwachten. Dit is de reden waarom het totale aantal isomeren lager is dan je hebt berekend met het bedrag $ 2 ^ {(n-1) / 2} $.
- Zal een wiskundige benadering geschikter zijn? In dat geval is deze vraag het waard om te delen met de Math StackExchange-gemeenschap …
Answer
Ik ben erin geslaagd om de formule te kraken voor optische isomeren met oneven chirale centra , dus ik zal mijn poging hier delen. Hopelijk kunnen anderen innoveren op it en post oplossingen voor andere formules.
Pseudo-chirale koolstofatomen – een inleiding
The Gold Book definieert pseudo-chiraal / pseudo-asymmetrisch koolstofatoom als:
een tetraëdrisch gecoördineerd koolstofatoom gebonden aan vier verschillende entiteiten, waarvan er twee en slechts twee hebben dezelfde constitutie maar tegengesteld aan het gevoel van chiraliteit.
Dit impliceert dat, in jouw geval:
Als chirale koolstofatomen 2 en 3 beide configuratie R hebben (of beide S), dan is de centrale koolstof 3 achiraal / symmetrisch, omdat nu “twee en slechts twee van de groepen die dezelfde constitutie hebben” in plaats daarvan hetzelfde gevoel voor chiraliteit zullen hebben. (Uw benadering door “symmetrievlak” is onjuist. Vind meer details over deze vraag )
Vandaar dat kan zijn twee stereo-isomeren ( r en s ) mogelijk op de 3e koolstof vanwege zijn pesudochiraliteit. Maar er zal er maar één zijn als beide substituenten links en rechts dezelfde optische configuraties hebben.
Een intuïtie opbouwen door handmatig te tellen
Voor optische isomeren met een oneven aantal chirale centra en vergelijkbare uiteinden, kunt u raden dat, als er $ n $ chirale centra zijn, de middelste ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -de) koolstofatoom zal pseudo-chiraal zijn. Om een intuïtie op te bouwen, zullen we “optische isomeren handmatig tellen voor $ n = 3 $ en $ n = 5 $ :
Case $ n = 3 $
Neem het voorbeeld van pentaan-2,3,4- triol zelf. We vinden vier (= $ 2 ^ {n-1} $ ) isomeren:
$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$
Zoals verwacht op basis van de relevante formule, vinden we dat de eerste twee ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) mesoverbindingen zijn, en de overige twee ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) zijn enantiomeren.
Case $ n = 5 $
Neem de voorbeeld van heptaan-2,3,4,5,6-pentol:
We verwachten $ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ isomeren, waarbij de C4-koolstof pseudo- chiraal. Om een echt grote tabel te vermijden, zien we dat het aantal meso-isomeren gemakkelijk te tellen is (< < aantal enantiomeren). Hier is een tabel met die vier (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) meso-isomeren:
$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {array} $$
Merk op dat het totale aantal optische isomeren wordt gegeven door $ 2 ^ {n-1} $ isomeren (meer hierover hieronder). Daarom is het aantal enantiomeren gemakkelijk $ 12 (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .
Een formule voor het aantal meso-isomeren
Zoals je in de tabel moet hebben opgemerkt, is de volgorde van optische configuraties, gelezen vanaf het vierde koolstofatoom, exact hetzelfde naar zowel links als rechts. Met andere woorden, als we een willekeurige permutatie repareren voor de optische configuraties van de koolstofatomen aan de linkerkant (zeg RSS ), dan krijgen we slechts één unieke permutatie van de optische configuraties aan de rechterkant ( SSR ).
We weten dat elke koolstof aan de linkerkant twee keuzes heeft ( R of S ), en er zijn $ \ frac {n-1} {2} $ koolstofatomen aan de linkerkant. Daarom is het totale aantal permutaties $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .
Omdat, onze beschrijving (“de opeenvolging van optische configuraties, gelezen vanaf het vierde koolstofatoom, is precies hetzelfde aan de linker- en rechterkant”) beschrijft meso isomeren, hebben we daarom het aantal meso-isomeren geteld, dat is $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .
Een formule voor het totale aantal isomeren
We merken op dat er $ n $ chirale koolstofatomen ( inclusief die pseudo-chirale koolstof). Nogmaals, elke chirale koolstof heeft $ 2 $ keuzes. Daarom is het maximaal mogelijke aantal optische isomeren $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ . Dit is het maximaal mogelijke aantal, niet het werkelijke totale aantal isomeren, dat veel lager is.
De vermindering van het aantal isomeren komt doordat de reeks optische configuraties exact hetzelfde van beide terminals carbon . Voorbeeld: RSsRS is hetzelfde als SRsSR . Dit gebeurt omdat de verbinding “soortgelijke uiteinden” heeft.
Daarom is elke permutatie exact tweemaal overschreden. Het werkelijke totale aantal isomeren is dus de helft van het maximale aantal, en is $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .
Conclusie
Vandaar dat we hebben afgeleid dat, als “n” (aantal chirale centra) oneven is voor een verbinding met vergelijkbare uiteinden, dan:
- $ \ text {Number of meso isomers} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
- $ \ text {Totaal aantal optische isomeren} = 2 ^ {n-1} $
- $ \ text {Number of enantiomers} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $
Reacties
- Met betrekking tot je uitspraak onder het inleidende gedeelte: ” Als chirale koolstofatomen 2 en 3 beide configuratie R (of beide S) hebben, dan is de centrale koolstof 3 zal achiraal / symmetrisch zijn, … “: Ik denk dat je concludeerde dat zon molecuul achiraal zou zijn vanwege de afwezigheid van een pseudo-asymmetrische koolstof. Uw gekoppelde vraag behandelt het tegenovergestelde geval waarin het molecuul een pseudo-asymmetrische koolstof heeft maar achiraal is. Evenzo, zelfs als het molecuul een pseudo-asymmetrisch centrum mist, kan het chiraal zijn. Het maakt ‘ niet uit voor ons teldoel, maar ik wilde het noteren.
Antwoord
We kunnen nee berekenen. van optische isomeren voor moleculen met een rechte keten met even en oneven nr. van chirale centra heel gemakkelijk door symmetrieën te observeren en eenvoudige wiskundige logica te gebruiken. Ik zal kort ingaan op zelfs nee. van centra. Vreemd nee. gevallen kunnen ook op soortgelijke wijze worden berekend.
Molecuul met zelfs nr. van chirale koolstofcentra waar het molecuul in twee gelijke helften kan worden verdeeld
Berekening van totaal aantal. van optische isomeren omvatten de berekening van mesovormen en enantiomere paren. In dat geval (en ook voor een oneven aantal chirale koolstofcentra) is de berekening van mesovormen zeer eenvoudig.
Voor het berekenen van nr. van Meso-isomeren , beschouw een algemeen molecuul met een rechte keten met zelfs geen. van chirale centra (zeg $ n = 2k $) zoals hieronder,
De groepen ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) zijn zo gerangschikt dat ze in het algemeen een mesoverbinding vertegenwoordigen.
Merk nu op dat tussen $ k $ th en $ k + 1 $ th koolstofcentrum, door een denkbeeldig vlak het molecuul kan worden verdeeld in twee gelijke helften. Daarom is het bovenstaande molecuul als geheel een Meso-verbinding. Om een mesoverbinding te worden, moet een isomeer van deze verbinding ook symmetrisch zijn ten opzichte van dit denkbeeldige vlak .
We kunnen dus alleen de configuratie van de bovenste $ k $ of lagere $ k $ koolstofatomen wijzigen om een nieuwe Meso-verbinding te vormen, omdat de configuratie van het symmetrische koolstofatoom wordt automatisch gewijzigd om de symmetrie te behouden.
Nu kunnen we $ 0 $ atoom (dat wil zeggen onze startverbinding) $ 1 $ koolstofatoom of $ 2 $ atomen of $ 3 $ atomen enzovoort veranderen tot $ k $, en dus zijn we eigenlijk aan het berekenen elke isomeer tweemaal. Omdat inversie van $ k-1 $ atomen niets anders is dan het spiegelbeeld van inversie van $ 1 $ atoom ($ k $ th atoom) dat al eerder in overweging is genomen.
Dus het totale aantal Meso-verbindingen = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$ wat ons het resultaat geeft.
Nu voor Enantiomere paren , repareer het eerste chirale koolstofcentrum ($ \ ce {C_1} $), want als we het niet repareren, zullen we uiteindelijk ook spiegelbeelden tellen, wat we niet willen voor het tellen paren. Stel nu zijn symmetrisch tegenovergestelde koolstofatoom ($ \ ce {C_ {2k}} $) vast als de relatieve configuratie tegenover $ \ ce {C_1} $ ie $ A_3 $ aan de linkerkant en $ A_2 $ aan de rechterkant. de resterende $ n-2 $ centra kunnen op $ 2 ^ {n-2} $ manieren worden georiënteerd en ze zullen allemaal verschillende optisch actieve isomeren zijn en er zijn ook geen spiegelbeelden. Enantiomere paren zijn dus = $ 2 ^ {n-2} $.
Dus totaal nee.van optische isomeren = $ 2 \ maal 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $
Voor, oneven nee. van koolstofatomen kan ook een vergelijkbaar idee worden toegepast. Als je $ n = 2k + 1 $ neemt, nee. van meso-isomeren zal zijn, $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ De logica erachter en het resterende deel wordt aan de lezer overgelaten om over na te denken …
Reacties
- bij het berekenen van enantiomeren, waarom heb je de relatieve configuratie van C1 in tegenstelling tot C2k vastgesteld?
- @shreya De vaststelling van de relatieve configuratie van C1 moet worden gedaan omdat we eigenlijk verschillende enantiomere paren willen tellen om precies te zijn , en na het berekenen van verschillende paren kunnen we het vermenigvuldigen met 2 om totale enantiomeren te krijgen. Dit bevestigingsconcept is in wezen vergelijkbaar met de verwisselingen van mensen rond een ronde tafel als je goed nadenkt. Als je permutaties rond een ronde tafel kunt begrijpen, lijkt dit probleem eigenlijk erg op elkaar. En ook het molecuul in het algemeen moet in twee gelijke helften kunnen worden verdeeld en daarom moet de fix ook voor C2k worden gedaan.
Answer
Tegenargumenten voor de gegeven antwoorden
1.Het antwoord van @Gaurang Tandon voor ” een formule voor het totale aantal isomeren ” gebruikt een redenering die ” elke permutatie is exact twee keer overgeteld “. Neem een verbinding met 5 chirale centra en een symmetrievlak ertussen. Een configuratie RSsSR of RRrRR , enz. komt niet twee keer voor.
Handgetekende tabellen zijn bedoeld ter ondersteuning. (Teken de tabellen zelf voor een duidelijk begrip)
Het begrip pseudo-assymetrische koolstofatomen wordt niet gebruikt in beide formuleringen. De dingen zijn veel complexer dan wat wordt gepresenteerd.
- Het antwoord van @Soumik Das heeft meerdere problemen. De ketting wordt recht genoemd, wat niet correct is. Geen enkele gesubstitueerde alkaanketen kan recht zijn (behalve ethaan). Deze veronderstelling zou echter geen belemmering vormen voor een verdere oplossing.
Het aantal meso-isomeren is correct berekend. Maar het had eenvoudiger kunnen zijn om te begrijpen als combinatoriek de R, S-nomenclatuur gebruikte in plaats van individuele groepen als A1, A2, enz. Op elk koolstofatoom te markeren.
In de formulering voor enantiomere paren legt hij de chirale koolstofatomen aan het einde van de keten vast, wat geen haalbare manier is, wat eenvoudige bezwaren heeft als we enkele voorbeelden nemen. Deze oplossing lijkt gemaakt om tot het antwoord te komen. Neem een molecuul met vier chirale centra met een configuratie RSRS. De eindkoolstoffen hebben een tegengestelde configuratie (R & S). Volgens het algoritme van de beantwoorder zou deze configuratie ook worden meegeteld bij de enantiomere paren , maar we zijn ons er terdege van bewust dat deze configuratie een meso configuratie is.
Mijn antwoord
Vertrouw niet op formules voor het tellen van de aantal optische isomeren, of in het algemeen een probleem met een ander onderwerp. Gewoonlijk krijgen studenten harde formules om bepaalde antwoorden te vinden. In ons geval is de oplossing gemakkelijker als de isomeren worden begrepen via tabellen, dan door formules te gebruiken die moeilijk te onthouden voor een lange termijn. Het is duidelijk dat het ding expliciet moeilijk voor de hand wordt als het aantal chirale koolstofatomen groter is dan 4, maar dergelijke problemen worden nooit gevraagd.
Toch is het de menselijke neiging om te zoeken om een reden achter dingen. Vertrouw alleen op ruwe formules en algemeen begrip die helpen bij het verwerven van een veel bredere kennis en perspectief voor het vinden van charmante rea zonen!