Cum se derivă aceste formule generale pentru numărul de stereoizomeri ai unui compus cu un posibil plan de simetrie?

Am reușit pentru a sparge formula pentru izomeri optici cu centre chirale ciudate , așa că voi împărtăși încercarea mea aici. it și post soluții pentru alte formule.

---

Atomi de carbon pseudo-chirali – o introducere

Cartea de aur definește atom de carbon pseudo-chiral / pseudo-asimetric ca:

un atom de carbon coordonat tetraedric legat de patru entități diferite, dintre care două și doar două au aceeași constituție, dar sens de chiralitate opus.

Aceasta implică faptul că, în cazul dvs.:

Dacă carbonii chirali 2 și 3 au configurația R (sau ambii S), atunci carbonul central 3 va fi achiral / simetric, deoarece acum „două și doar două dintre grupurile sale care au aceeași constituție” vor avea în schimb același sens de chiralitate. (Abordarea dvs. prin „plan de simetrie” este greșită. Găsiți mai multe detalii despre această întrebare )

Prin urmare, acolo poți să fie doi stereoizomeri ( r și s ) posibili pe cel de-al treilea carbon datorită pesudochiralității sale. Dar va exista doar unul dacă ambii substituenți din stânga și din dreapta au aceleași configurații optice.

---

Construirea unei intuiții prin numărare manuală

Pentru izomerii optici cu număr impar de centre chirale și capete similare, puteți ghici că, dacă există $ n $ centre chirale, atunci mijlocul ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) atomul de carbon va fi pseudo-chiral. Pentru a construi o intuiție, vom „număra manual izomerii optici pentru $ n = 3 $ și $ n = 5 $ :

Case $ n = 3 $

Luați exemplul pentan-2,3,4- triol în sine. Găsim patru (= $ 2 ^ {n-1} $ ) izomeri:

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Așa cum era de așteptat din formula relevantă, constatăm că primii doi ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) sunt compuși mezo și restul de doi ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) sunt enantiomeri.

Case $ n = 5 $

Luați exemplu de heptan-2,3,4,5,6-pentol:

Ne așteptăm la izomeri $ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ , carbonul C4 fiind pseudo- chiral. Pentru a evita un tabel cu adevărat mare, observăm că numărul de izomeri mezo este ușor de numărat (< < număr de enantiomeri). Iată un tabel cu acești patru (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) izomeri meso:

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} | hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Rețineți că totalul izomerilor optici este dat de $ 2 ^ {n-1} $ izomeri (mai multe despre acest lucru mai jos). Prin urmare, numărul enantiomerilor este ușor $ 12 (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .

---

O formulă pentru numărul de izomeri mezo

După cum trebuie să fi observat din tabel, secvența configurațiilor optice, când este citită din al patrulea atom de carbon, este exact la fel atât spre stânga cât și spre dreapta. Cu alte cuvinte, dacă reparăm o permutare arbitrară pentru configurațiile optice ale atomilor de carbon din stânga (să spunem RSS ), atunci vom obține doar una permutare unică a configurații optice în dreapta ( SSR ).

Știm că fiecare carbon din stânga are două opțiuni ( R sau S ), și există $ \ frac {n-1} {2} $ atomi de carbon în stânga. Prin urmare, numărul total de permutări va fi $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

Întrucât descrierea noastră („secvența configurațiilor optice, când este citită din al patrulea atom de carbon, este exact aceeași atât la stânga cât și la dreapta”) descrie meso izomeri, prin urmare am numărat numărul de izomeri meso, care este $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .

---

O formulă pentru numărul total de izomeri

Observăm că există $ n $ carboni chirali ( inclusiv acel pseudo carbon chiral). Din nou, fiecare carbon chiral are 2 $ $ opțiuni. Prin urmare, numărul maxim posibil de izomeri optici este $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ . Acesta este numărul maxim posibil, nu actualul total de izomeri, care este mult mai mic.

Reducerea numărului de izomeri se datorează faptului că șirul de configurații optice citește exact la fel de la fie terminal carbon . Exemplu: RSsRS este același cu SRsSR . Acest lucru se întâmplă deoarece compusul are „capete similare”

Prin urmare, fiecare permutare a fost peste numărată exact de două ori . Astfel, numărul total real de izomeri este jumătate din maximul posibil și este $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .

---

Concluzie

Prin urmare, am derivat că, dacă „n” (numărul de centre chirale) este impar pentru un compus cu capete similare, atunci:

• $ \ text {Număr de izomeri meso} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {Numărul total de izomeri optici} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {Number of enantiomers} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

Comentarii

• În ceea ce privește afirmația dvs. din partea de introducere: ” Dacă carbonii chirali 2 și 3 au configurația R (sau ambii S), atunci carbonul central 3 va fi achiral / simetric, … „: Cred că ați concluzionat că o astfel de moleculă ar fi achirală din cauza absenței unui carbon pseudo-asimetric. Întrebarea dvs. legată tratează cazul opus în care molecula are un carbon pseudo-asimetric, dar este achirală. În mod similar, chiar dacă moleculei îi lipsește un centru pseudo-asimetric, aceasta poate fi chirală. Nu contează ‘ pentru scopul nostru de numărare, dar am vrut să fac o notă despre el.

Putem calcula nu. de izomeri optici pentru molecule cu lanț drept cu nr par și impar. a centrelor chirale foarte ușor observând simetriile și folosind logici matematice simple. Voi detalia pe scurt chiar și nu. de centre. Nr impar cazurile pot fi calculate și prin idei similare.

Moleculă cu chiar nr. a centrelor de carbon chiral în care molecula poate fi împărțită în două jumătăți egale

Calculul numărului total nr. de izomeri optici includ calculul formelor meso și perechi enantiomerice. În acest caz, (și, de asemenea, pentru numărul impar de centre de carbon chirale), calculul formelor mezo este foarte ușor.

Pentru calculul nr. din izomeri meso , luați în considerare o moleculă generală cu lanț drept cu nr. din centrele chirale (să zicem, $ n = 2k $) ca mai jos,

Grupurile ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) sunt aranjate astfel încât să reprezinte un compus meso în general.
Acum observați că între $ k $ th și $ k + 1 $ th Centrul carbonului, printr-un plan imaginar molecula poate fi împărțită în două jumătăți egale. De aceea, în ansamblu, molecula de mai sus este un compus meso. Acum, pentru a deveni un compus mezo, un izomer al acestui compus trebuie să fie, de asemenea, simetric în acest plan imaginar .
Deci, putem schimba configurația doar atomilor de carbon $ k $ superiori sau $ k $ inferiori pentru a forma un nou compus Meso, deoarece configurația atomului de carbon simetric se va schimba automat pentru a menține simetricitatea.
Acum, putem schimba $ 0 $ atom (adică compusul nostru inițial) $ 1 $ atom de carbon sau $ 2 $ atomi sau $ 3 $ atomi și așa mai departe până la $ k $, și astfel calculăm de fapt fiecare izomer de două ori. Deoarece inversarea atomilor $ k-1 $ nu este altceva decât imaginea oglindă a inversiunii atomului $ 1 $ ($ k $ th atom) care este deja considerată anterior.
Astfel, numărul total de compuși meso = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$ care ne dă rezultatul.

Acum pentru Perechi enantiomerice , remediați primul centru Chiral Carbon ($ \ ce {C_1} $), pentru că, dacă nu îl remediem, vom ajunge să numărăm și imaginile oglindă, pe care nu le dorim pentru numărare perechi. Acum, fixați-i atomul de carbon simetric opus ($ \ ce {C_ {2k}} $) ca configurație relativă opusă lui $ \ ce {C_1} $, adică $ A_3 $ în stânga și $ A_2 $ în dreapta. centrele $ n-2 $ rămase pot fi orientate în moduri $ 2 ^ {n-2} $ și toate vor fi diferite izomeri optic activi și nu există și imagini oglindă. Astfel, perechile enantiomerice vor fi = $ 2 ^ {n-2} $.
Deci, nu total.de izomeri optici = $ 2 \ times 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

Pentru, nr impar de atomi de carbon, de asemenea, se poate aplica o idee similară. Dacă luați $ n = 2k + 1 $, nu. de izomeri meso va fi, $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ Logica din spatele acesteia și partea rămasă este lăsată cititorului să se gândească la …

Comentarii

• în timp ce calculați enantiomerii, de ce ați reparat configurația relativă a lui C1 opusă lui C2k?
• @shreya Fixarea configurației relative a lui C1 trebuie făcută pentru că dorim să numărăm perechi enantiomerice distincte pentru a fi precise , iar după calcularea perechilor distincte îl putem înmulți cu 2 pentru a obține enantiomeri totali. Acum, acest concept de fixare este practic similar cu permutațiile oamenilor din jurul unei mese rotunde, dacă vă gândiți cu atenție. Dacă puteți înțelege permutările în jurul unei mese rotunde, această problemă este de fapt foarte similară. Și, de asemenea, molecula de ansamblu ar trebui să poată fi divizată în două jumătăți egale și, prin urmare, fixarea ar trebui să se facă și pentru C2k.

Contra argumentele răspunsurilor date

1. Răspunsul postat de @Gaurang Tandon pentru ” o formulă pentru numărul total de izomeri ” utilizează un raționament care ” fiecare permutare a fost depășită exact de două ori „. Luați un compus cu 5 centre chirale și un plan de simetrie între ele. O configurație RSsSR sau RRrRR etc. nu apare de două ori.
Au fost furnizate tabele desenate manual pentru sprijin. (Desenați singur tabelele pentru o înțelegere mult mai clară)

Noțiunea de atomi de carbon pseudo-asimetrici nu este utilizată în atât formulările. Lucrurile sunt mult mai complexe decât ceea ce este prezentat.

2. Răspunsul de la @Soumik Das are mai multe probleme. Lanțul este chemat să fie drept ceea ce nu este corect. Niciun lanț substituit de alcan nu poate fi drept (cu excepția etanului). Deși această ipoteză nu ar împiedica nicio altă soluție.

   Numărul de izomeri mezo sunt calculați corect. Dar, ar fi putut fi mai simplu de înțeles dacă combinația a folosit nomenclatura R, S în loc să marcheze grupuri individuale ca A1, A2 etc. pe fiecare atom de carbon.

   În formularea perechilor enantiomerice, el fixează capătul chiral-carbonilor lanțului, ceea ce nu este o modalitate fezabilă, care are obiecții simple dacă luăm câteva exemple. Această soluție apare ca și cum ar fi fost făcută pentru a ajunge la răspuns. Luați o moleculă centrală cu patru chirale cu o configurație RSRS. Carbonii finali au configurație opusă (R & S). Conform algoritmului furnizat de răspuns, această configurație ar fi, de asemenea, numărată printre perechile enantiomerice , dar suntem conștienți că această configurație este una meso .

Răspunsul meu

Nu vă bazați pe formule pentru numărarea numărul de izomeri optici, sau, în general, orice altă problemă de subiect. De obicei, elevilor li se oferă formule dure pentru găsirea anumitor răspunsuri. În cazul nostru, soluția este mai ușoară dacă izomerii sunt înțelese prin tabele, decât prin utilizarea formulelor care sunt dificil de reținut pe termen lung. Evident, lucrul devine explicit dificil de mânuit dacă numărul atomilor chirali-carbon este mai mare de 4, dar astfel de probleme nu sunt niciodată întrebat.

Totuși, este tendința umană să caute pentru un motiv din spatele lucrurilor. Depinde doar de formule brute și de înțelegere generală care ajută la obținerea unei cunoștințe și perspective mult mai largi pentru a găsi rea fermecătoare fii!