Hur härleds dessa allmänna formler för antal stereoisomerer av en förening med ett möjligt symmetriplan?

jag lyckades för att knäcka formeln för optiska isomerer med udda chirala centra , så jag delar mitt försök här. Förhoppningsvis kan andra förnya sig om det och publicera lösningar för andra formler.

---

Pseudokirala kolatomer – en introduktion

Guldboken definierar pseudo-chiral / pseudo-asymmetrisk kolatom som:

en tetraederkoordinerad kolatom bunden till fyra olika enheter, varav två och endast två har samma konstitution men motsatt kiralitet.

Detta innebär att, i ditt fall:

Om kirala kol 2 och 3 båda har konfigurationen R (eller båda S), blir det centrala kolet 3 achiralt / symmetriskt, för nu kommer ”två och endast två av dess grupper som har samma konstitution” istället samma chiralitet. (Din inställning med ”symmetriplan” är fel. Hitta mer information om den här frågan )

Därför kan vara två stereoisomerer ( r och s ) möjliga på det tredje kolet på grund av dess pesudokiralitet. Men det kommer bara att finnas en om båda substituenterna till vänster och höger har samma optiska konfigurationer.

---

Att bygga upp en intuition genom manuell räkning

För optiska isomerer med udda antal kirala centra och liknande ändar kan du gissa att om det finns $ n $ kirala centra, så är mitten ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) kolatom kommer att vara pseudokiral. För att bygga upp en intuition räknar vi manuellt optiska isomerer för $ n = 3 $ och $ n = 5 $ :

Fall $ n = 3 $

Ta exemplet med pentan-2,3,4- triol själv. Vi hittar fyra (= $ 2 ^ {n-1} $ ) isomerer:

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Som förväntat från den relevanta formeln finner vi att de två första ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) är meso-föreningar, och de återstående två ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) är enantiomerer.

Fall $ n = 5 $

Ta exempel på heptan-2,3,4,5,6-pentol:

Vi förväntar oss $ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ isomerer, där C4-kolet är pseudo- kiral. För att undvika en riktigt stor tabell observerar vi att antalet meso-isomerer är lätt att räkna (< < antal enantiomerer). Här är en tabell över dessa fyra (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) meso-isomerer:

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Observera att de totala optiska isomererna ges av $ 2 ^ {n-1} $ isomerer (mer om det nedan). Därför är antalet enantiomerer lätt $ 12 (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .

---

En formel för antalet meso-isomerer

Som du måste ha observerat från tabellen är sekvensen för optiska konfigurationer, när den läses från den fjärde kolatomen, exakt samma mot både vänster och höger. Med andra ord, om vi fixar en godtycklig permutation för de optiska konfigurationerna av kolatomerna till vänster (säg RSS ), får vi bara en unik permutation av optiska konfigurationer till höger ( SSR ).

Vi vet att varje kol till vänster har två val ( R eller S ), och det finns $ \ frac {n-1} {2} $ kolatomer till vänster. Därför blir det totala antalet permutationer $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

Eftersom vår beskrivning (”sekvensen av optiska konfigurationer, när den läses från den fjärde kolatomen, är exakt densamma på både vänster och höger”) beskriver meso isomerer, vi har därför räknat antalet meso-isomerer, vilket är $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .

---

En formel för antalet totala isomerer

Vi noterar att det finns $ n $ kirala kol ( inklusive det pseudokirala kolet). Återigen har varje kiralt kol $ 2 $ val. Därför är maximalt möjligt antalet optiska isomerer $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ . Detta är det högsta möjliga, inte faktiska totala antalet isomerer, vilket är mycket lägre.

Minskningen av antalet isomerer beror på att strängen med optiska konfigurationer läser exakt samma från endera terminal kol . Exempel: RSsRS är samma som SRsSR . Detta händer eftersom föreningen har ”liknande ändar”

Därför har varje permutation räknats exakt två gånger . Således är det faktiska totala antalet isomerer hälften av det maximala möjliga och är $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .

---

Slutsats

Därför har vi härledt att om ”n” (antal kirala centra) är udda för en förening med liknande ändar, då:

• $ \ text {Antal meso-isomerer} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {Totalt antal optiska isomerer} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {Antal enantiomerer} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

Kommentarer

• När det gäller ditt uttalande under introduktionsdelen: ” Om kirala kol 2 och 3 båda har konfiguration R (eller båda S), är det centrala kolet 3 kommer att vara achiral / symmetrisk, … ”: Jag tror att du drog slutsatsen att en sådan molekyl skulle vara achiral på grund av frånvaron av ett pseudo-asymmetriskt kol. Din länkade fråga handlar om det motsatta fallet där molekylen har ett pseudo-asymmetriskt kol men är achiralt. På samma sätt, även om molekylen saknar ett pseudo-asymmetriskt centrum, kan det vara kiralt. Det betyder inte ’ för vårt räkningsändamål men jag ville göra en anteckning.

Vi kan beräkna nej. av optiska isomerer för rakkedjiga molekyler med jämnt och udda nr. av Chiral centra mycket enkelt genom att observera symmetrier och använda enkla matematiska logik. Jag kommer kort att utarbeta till och med nej. av centra. Udda nej. fall kan också beräknas med en liknande idé.

Molekyl med till och med nr. av Chiral Carbon Centers där molekyler kan delas in i två lika stora halvor

Beräkning av totalt antal. av optiska isomerer inkluderar beräkning av Meso-former och enantiomera par. I så fall (och även för udda antal chirala kolcentra) är beräkning av mesoformer mycket enkelt.

För beräkning av nr. av Meso-isomerer , överväga en allmän rak kedjemolekyl med till och med nr. av kirala centra (säg $ n = 2k $) enligt nedan,

Grupperna ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) är ordnade så att de representerar en mesoförening i allmänhet.
Observera nu att mellan $ k $ th och $ k + 1 $ th Kolcentrum, genom ett imaginärt plan, kan molekylen delas i två lika stora halvor. Det är därför som ovanstående molekyl i sin helhet är en Meso-förening. För att bli en mesoförening måste en isomer av denna förening också vara symmetrisk mot detta imaginära plan .
Så, vi kan bara ändra konfigurationen de övre $ k $ eller lägre $ k $ kolatomerna för att bilda en ny Meso-förening, eftersom konfigurationen av den symmetriska kolatomen ändras automatiskt för att upprätthålla symmetricitet.
Nu kan vi ändra $ 0 $ atom (dvs vår startförening) $ 1 $ Kolatom eller $ 2 $ atomer eller $ 3 $ atomer och så vidare upp till $ k $, och därmed beräknar vi faktiskt varje isomerer två gånger. Eftersom inversion av $ k-1 $ -atomer inte är något annat än spegelbilden av inversion av $ 1 $ atom ($ k $ th atom) som redan har beaktats tidigare.
Således totalt antal Meso-föreningar = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$ vilket ger oss resultatet.

Nu för Enantiomera par , fixa det första Chiral Carbon-centret ($ \ ce {C_1} $), för om vi inte fixar det kommer vi också att räkna med spegelbilder, som vi inte vill ha för att räkna par. Fixa nu dess symmetriskt motsatta kolatom ($ \ ce {C_ {2k}} $) som den relativa konfigurationen motsatt till $ \ ce {C_1} $ dvs $ A_3 $ till vänster och $ A_2 $ till höger. återstående $ n-2 $ centra kan orienteras på $ 2 ^ {n-2} $ sätt och alla kommer att vara olika optiskt aktiva isomerer och det finns inga spegelbilder också. Således blir Enantiomeric-par = $ 2 ^ {n-2} $.
Så, totalt nr.av optiska isomerer = $ 2 \ gånger 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

För, udda nr. av kolatomer kan också liknande idé tillämpas. Om du tar $ n = 2k + 1 $, nej. av meso-isomerer kommer att vara, $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ Logiken bakom den och den återstående delen är kvar för läsaren att tänka på …

Kommentarer

• vid beräkning av enantiomerer, varför fixade du relativ konfiguration av C1 motsatt C2k?
• @shreya Fastställandet av relativ konfiguration av C1 måste göras eftersom vi faktiskt vill räkna distinkta enantiomera par för att vara exakt och efter beräkning av distinkta par kan vi multiplicera det med 2 för att få totala enantiomerer. Nu liknar detta fixeringskoncept i grunden permutationerna för människor runt ett runt bord om du tänker noga. Om du förstår permutationer runt ett runt bord är problemet faktiskt väldigt lika. Och också att molekylen totalt sett ska kunna delas i två lika stora halvor och därför bör fixeringen göras för C2k också.

Motargument mot de givna svaren

1. Svaret publicerat av @Gaurang Tandon för ” en formel för antalet isomerer totalt ” använder en resonemang om att ” varje permutation har överräknats exakt två gånger ”. Ta en förening med 5 kirala centra och ett symmetriplan däremellan. En konfiguration RSsSR eller RRrRR , etc. förekommer inte två gånger.
Handritade tabeller har tillhandahållits för stöd. (Rita tabellerna själv för en mycket tydlig förståelse)

Begreppet pseudo-assymetriska kolatomer används inte i båda formuleringarna. Sakerna är mycket mer komplexa än vad som presenteras.

2. Svaret från @Soumik Das har flera problem. Kedjan kallas för att vara rak vilket inte är korrekt. Ingen substituerad alkan-kedja kan vara rak (förutom etan). Även om detta antagande inte skulle hindra någon ytterligare lösning.

   Antalet meso-isomerer beräknas korrekt. Men det kunde ha varit enklare att förstå om kombinatorik använde R, S-nomenklatur istället för att markera enskilda grupper som A1, A2, etc. på varje kolatom.

   I formuleringen för enantiomera par fixar han kedjans slutkiralkol, vilket inte är ett genomförbart sätt, som har enkla invändningar om vi tar några exempel. Denna lösning verkar som om den gjordes för att komma fram till svaret. Ta en fyra-kiral centrummolekyl med en konfiguration RSRS. Slutkolerna har motsatt konfiguration (R & S). Enligt algoritmen från svararen skulle denna konfiguration också räknas till enantiomera par , men vi är väl medvetna om att denna konfiguration är en meso en.

Mitt svar

Lita inte på formler för att räkna antal optiska isomerer, eller i allmänhet, något annat ämnesproblem. Vanligtvis får studenter hårda formler för att hitta vissa svar. I vårt fall är lösningen enklare om isomererna förstås genom tabeller än genom att använda formler som är svårt att komma ihåg på lång sikt. Självklart blir saken uttryckligen svår för handen om antalet kirala kolatomer är större än 4, men sådana problem frågas aldrig.

Det är fortfarande mänsklig tendens att söka av en anledning bakom saker. Bero bara på grova formler och allmän förståelse som hjälper till att få en mycket bredare kunskap och perspektiv för att hitta charmig rea söner!