Hvordan udledes disse generelle formler for antal stereoisomerer af en forbindelse med et muligt symmetriplan?

Jeg klarede for at knække formlen for optiske isomerer med ulige chirale centre , så jeg deler mit forsøg her. Forhåbentlig kan andre innovere om det og sende løsninger til andre formler.

---

Pseudokirale kulstofatomer – en introduktion

Guldbogen definerer pseudo-chiralt / pseudo-asymmetrisk carbonatom som:

et tetraedrisk koordineret carbonatom bundet til fire forskellige enheder, hvoraf to og kun to har samme forfatning men modsat chiralitetssans.

Dette indebærer, at i dit tilfælde:

Hvis chirale carbonatomer 2 og 3 begge har konfiguration R (eller begge S), vil det centrale carbon 3 være achiral / symmetrisk, for nu vil “to og kun to af dets grupper, der har den samme forfatning” i stedet have den samme chiralitetssans. (Din tilgang med “symmetriplan” er forkert. Find flere detaljer om dette spørgsmål )

Derfor er der kan være to stereoisomerer ( r og s ) mulige på 3. kulstof på grund af dets pesudokiralitet. Men der vil kun være en hvis begge substituenter til venstre og højre har de samme optiske konfigurationer.

---

Opbygning af en intuition ved manuel optælling

For optiske isomerer med ulige antal chirale centre og lignende ender kan du gætte på, at hvis der er $ n $ chirale centre, så er midten ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) carbonatom vil være pseudo-chiralt. For at opbygge en intuition tæller vi manuelt optiske isomerer til $ n = 3 $ og $ n = 5 $ :

Case $ n = 3 $

Tag eksemplet med pentan-2,3,4- triol selv. Vi finder fire (= $ 2 ^ {n-1} $ ) isomerer:

$$ \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Som forventet af den relevante formel finder vi, at de to første ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) er meso-forbindelser, og de resterende to ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) er enantiomerer.

Sag $ n = 5 $

Tag eksempel på heptan-2,3,4,5,6-pentol:

Vi forventer $ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ isomerer, hvor C4 carbon er pseudo- chiral. For at undgå en virkelig stor tabel observerer vi, at antallet af meso-isomerer let kan tælles (< < antal enantiomerer). Her er en tabel over disse fire (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) meso-isomerer:

$$ \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {array} $$

Bemærk, at de samlede optiske isomerer er angivet af $ 2 ^ {n-1} $ isomerer (mere om det nedenfor). Derfor er antallet af enantiomerer $ 12 (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .

---

En formel for antallet af meso-isomerer

Som du skal have observeret fra tabellen, er rækkefølgen af optiske konfigurationer, når de læses fra det fjerde carbonatom, nøjagtig den samme mod både venstre og højre. Med andre ord, hvis vi retter en vilkårlig permutation til de optiske konfigurationer af kulstofatomer til venstre (siger RSS ), så får vi kun en unik permutation af optiske konfigurationer til højre ( SSR ).

Vi ved, at hvert kulstof til venstre har to valgmuligheder ( R eller S ), og der er $ \ frac {n-1} {2} $ kulstofatomer til venstre. Derfor vil det samlede antal permutationer være $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

Da vores beskrivelse (“sekvensen af optiske konfigurationer, når den læses fra det fjerde carbonatom, er nøjagtig den samme på både venstre og højre”) beskriver meso isomerer, vi har derfor talt antallet af meso-isomerer, hvilket er $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .

---

En formel for antallet af samlede isomerer

Vi bemærker, at der er $ n $ chirale carbonatomer ( inklusive det pseudokirale kulstof). Igen har hvert chiralt kulstof $ 2 $ valg. Derfor er det maksimale mulige antal optiske isomerer $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ . Dette er det maksimale mulige, ikke faktiske samlede antal isomerer, hvilket er meget lavere.

Reduktionen i antal isomerer skyldes, at strengen af optiske konfigurationer læser nøjagtigt den samme fra begge terminale kulstof . Eksempel: RSsRS er det samme som SRsSR . Dette sker, fordi forbindelsen har “lignende ender”

Derfor er hver permutation blevet overoptalt nøjagtigt to gange . Således er det faktiske samlede antal isomerer halvdelen af det maksimale mulige og er $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .

---

Konklusion

Derfor har vi udledt, at hvis “n” (antal chirale centre) er ulige for en forbindelse med lignende ender, så:

• $ \ text {Antal meso-isomerer} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {Samlet antal optiske isomerer} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {Antal enantiomerer} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

Kommentarer

• Med hensyn til din erklæring under introduktionsdelen: ” Hvis chirale carbonatomer 2 og 3 begge har konfiguration R (eller begge S), så er det centrale carbon 3 vil være achiral / symmetrisk, … “: Jeg tror, du konkluderede, at et sådant molekyle ville være achiralt på grund af fraværet af et pseudo-asymmetrisk kulstof. Dit sammenkædede spørgsmål handler om det modsatte tilfælde, hvor molekylet har et pseudo-asymmetrisk kulstof, men er achiralt. Tilsvarende, selvom molekylet mangler et pseudo-asymmetrisk center, kan det være chiralt. Det betyder ikke ‘ for vores optællingsformål, men jeg ville notere det.

Vi kan beregne nej. af optiske isomerer til ligekædede molekyler med lige og ulige nej. af Chiral-centre meget let ved at observere symmetrier og bruge enkle matematiske logikker. Jeg vil kort uddybe selv nr. af centre. Mærkeligt nej. sager kan også beregnes efter en lignende idé.

Molekyle med endda nr. af chirale kulstofcentre, hvor molekylet kan opdeles i to lige store halvdele

Beregning af totalnr. af optiske isomerer inkluderer beregning af Meso-former og enantiomere par. I så fald (og også for ulige antal chirale kulstofcentre) er beregning af mesoformer meget let.

Til beregning af nr. af Meso-isomerer , overvej et generelt ligekædet molekyle med endda nr. af chirale centre (sig $ n = 2k $) som nedenfor,

Grupperne ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) er arrangeret således, at de generelt repræsenterer en meso-forbindelse.
Observer nu, at mellem $ k $ th og $ k + 1 $ th Carbon center, ved et imaginært plan, kan molekylet opdeles i to lige store halvdele. Derfor er ovennævnte molekyle som helhed en Meso-forbindelse. For at blive en meso-forbindelse skal en isomer af denne forbindelse også være symmetrisk med dette imaginære plan .
Så vi kan kun ændre konfiguration af de øvre $ k $ eller lavere $ k $ Carbonatomer for at danne en ny Meso-forbindelse, fordi konfigurationen af det symmetriske carbonatom vil automatisk ændre sig for at opretholde symmetricitet.
Nu kan vi ændre $ 0 $ atom (dvs. vores udgangsforbindelse) $ 1 $ Carbonatom eller $ 2 $ atomer eller $ 3 $ atomer og så videre op til $ k $, og dermed beregner vi faktisk hver isomerer to gange. Fordi inversion af $ k-1 $ atomer ikke er andet end spejlbilledet af inversion af $ 1 $ atom ($ k $ th atom), som allerede er betragtet før.
Således totalt antal Meso-forbindelser = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$ hvilket giver os resultatet.

Nu for Enantiomere par , rett det første Chiral Carbon-center ($ \ ce {C_1} $), for hvis vi ikke løser det, tæller vi også spejlbilleder, som vi ikke ønsker at tælle par. Ret nu dets symmetrisk modsatte kulstofatom ($ \ ce {C_ {2k}} $) som den relative konfiguration modsat $ $ ce {C_1} $ dvs. $ A_3 $ til venstre og $ A_2 $ til højre. resterende $ n-2 $ centre kan orienteres på $ 2 ^ {n-2} $ måder, og alle vil være forskellige optisk aktive isomerer, og der er heller ingen spejlbilleder. Enantiomere par vil således være = $ 2 ^ {n-2} $.
Så alt i alt.af optiske isomerer = $ 2 \ gange 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

For, ulige nr. af kulstofatomer også lignende idé kan anvendes. Hvis du tager $ n = 2k + 1 $, nej. af meso-isomerer vil være $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ Logikken bag den og den resterende del overlades til læseren til at tænke over …

Kommentarer

• under beregning af enantiomerer, hvorfor fikste du relativ konfiguration af C1 modsat C2k?
• @shreya Fastsættelsen af relativ konfiguration af C1 skal gøres, fordi vi faktisk vil tælle forskellige Enantiomer-par for at være præcise , og efter beregning af forskellige par kan vi gange det med 2 for at få samlede enantiomerer. Nu svarer dette ordningskoncept grundlæggende til permutationer fra mennesker omkring et rundt bord, hvis du tænker nøje. Hvis du kan forstå permutationer omkring et rundt bord, er dette problem faktisk meget ens. Og også det samlede molekyle skal kunne deles i to lige store halvdele, og derfor skal fikseringen også gøres for C2k.