Hogyan lehet levezetni ezeket az általános képleteket egy lehetséges szimmetriasíkú vegyület sztereoizomerjeinek számára?

Sikerült feltörni a páratlan királis centrumú optikai izomerek képletét , ezért itt megosztom a kísérletemet. Remélhetőleg mások is újíthatnak meg és megoldásokat tesz közzé más képletekhez.

---

Pszeudokirális szénatomok – bevezetés

Az Aranykönyv meghatározza ál-királis / ál-aszimmetrikus szénatom, mint:

egy tetraéderesen koordinált szénatom négy különböző entitáshoz kötve, kettő és csak kettő azonos alkatúak, de ellentétes kiralitási érzékkel rendelkeznek.

Ez azt jelenti, hogy az Ön esetében:

Ha a 2. és 3. királis szénatomok egyaránt R (vagy mindkettő S) konfigurációjúak, akkor a központi 3 szénatom achirális / szimmetrikus lesz, mert most “két és csak két azonos alkatú csoportjának” lesz helyette ugyanaz a kiralitás értelme. (A “szimmetriasík” megközelítése téves. További részletek erről a kérdésről )

Ezért tud legyen két sztereoizomer ( r és s ), amelyek pesudokiralitása miatt a 3. szénatomon lehetségesek. De csak egy lesz, ha mindkét bal és jobb oldali szubsztituensnek ugyanazok az optikai konfigurációi vannak.

---

Intuíció felépítése kézi számlálással

Ha páratlan számú királis centrummal és hasonló végű optikai izomerek vannak, akkor sejtheti, hogy ha vannak $ n $ királis centrumok, akkor a középső ( $ \ frac {n + 1} 2 $ -th) szénatom ál-királis lesz. Az intuíció felépítéséhez manuálisan megszámoljuk az optikai izomereket $ n = 3 $ és $ n = 5 $ :

Case $ n = 3 $

Vegyük a pentán-2,3,4- példát maga triol. Négy (= $ 2 ^ {n-1} $ ) izomert találunk:

$$ \ begin {tömb} {| c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3} & \ text {C4} \\\ hline R & R & – \\\ hline S & S & – \\\ hline R & S & R \\\ hline R & S & S \\\ hline \ end {tömb} $$

A vonatkozó képletnek megfelelően, azt találjuk, hogy az első kettő ( $ = 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) mezovegyület, és a maradék kettő ( $ = 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac { n-1} 2 $ ) enantiomerek.

$ n = 5 $

példa a heptán-2,3,4,5,6-pentolra:

$ 16 ~ (= 2 ^ {n-1}) $ izomerekre számítunk, ahol a C4 szén ál- királis. Az igazán nagy táblázat elkerülése érdekében megfigyelhetjük, hogy a mezoizomerek száma könnyen megszámolható (< < enantiomerek száma). Itt található egy táblázat ebből a négy (= $ 2 ^ \ frac {n-1} 2 $ ) mezo izomerből:

$$ \ begin {tömb} {| c | c | c | c | c | c |} \ hline \ text {C2} & \ text {C3 } & \ text {C4} & \ text {C5} & \ text { C6} \\\ hline R & R & – & R & R \\\ hline R & S & – & S & R \\\ hline S & R & – & R & S \\\ hline S & S & – & S & S \\\ hline \ end {tömb} $$

Ne feledje, hogy az összes optikai izomert a $ 2 ^ {n-1} $ izomerek adják meg (erről bővebben alább). Ezért az enantiomerek száma könnyen 12 USD (= 2 ^ {n-1} -2 ^ \ frac {n-1} 2) $ .

---

Képlet a mezoizomerek számához

Amint azt a táblázatból észrevehette, az optikai konfigurációk sorrendje, ha a negyedik szénatomról olvassuk, pontosan ugyanaz balra és jobbra egyaránt. Más szavakkal, ha tetszőleges permutációt rögzítünk a bal oldali szénatomok optikai konfigurációira (mondjuk RSS ), akkor csak egy egyedi permutációt kapunk a optikai konfigurációk a jobb oldalon ( SSR ).

Tudjuk, hogy a bal oldali szénnek két választási lehetősége van ( R vagy S ), és a bal oldalon található $ \ frac {n-1} {2} $ szénatom. Ezért a permutációk teljes száma $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots \ frac {n-1} {2} \ text {times} = 2 ^ \ frac {n-1 } {2} $ .

em> meso izomerek, ezért megszámoltuk a mezo izomerek számát, amely $ 2 ^ \ frac {n-1} {2} $ .

---

Az összes izomer számának képlete

Megjegyezzük, hogy vannak $ n $ királis szénatomok ( beleértve azt az álkirális szénatomot). Ismét mindegyik királis szénnek $ 2 $ választása van. Ennélfogva az optikai izomerek maximális lehetséges száma $ 2 \ times2 \ times2 \ cdots n \ text {times} = 2 ^ n $ . Ez a lehetséges maximális érték, nem pedig az izomerek tényleges összes száma, ami sokkal alacsonyabb.

Az izomerek számának csökkenése azért van, mert az optikai konfigurációk karaktersorozata pontosan ugyanaz bármelyik terminális szénből . Példa: RSsRS megegyezik az SRsSR vel. Ez azért történik, mert a vegyületnek “hasonló végei vannak”

Ezért minden egyes permutációt pontosan kétszer t felülmértek. Így az izomerek tényleges száma a lehető legnagyobb fele, és $ = \ frac {2 ^ n} 2 = 2 ^ {n-1} $ .

---

Következtetés

Ezért azt a következtetést vontuk le, hogy ha az “n” (királis centrumok száma) páratlan egy hasonló végű vegyületnél, akkor:

• $ \ text {Mezoizomerek száma} = 2 ^ {(n-1) / 2} $
• $ \ text {Az optikai izomerek teljes száma} = 2 ^ {n-1} $
• $ \ text {Az enantiomerek száma} = 2 ^ {n-1} -2 ^ {(n-1) / 2} $

megjegyzések

• A bevezető részben található állításával kapcsolatban: ” Ha a 2. és a 3. királis szénatom R konfigurációjú (vagy mindkettő S), akkor a központi szén 3 lesz achirális / szimmetrikus, … “: Azt hiszem, arra a következtetésre jutott, hogy egy ilyen molekula pszeudo-aszimmetrikus szén hiánya miatt achirális lenne. A kapcsolt kérdésed ellentétes esettel foglalkozik, amikor a molekula pszeudo-aszimmetrikus szénnel rendelkezik, de achirális. Hasonlóképpen, még akkor is, ha a molekulának nincs ál-aszimmetrikus központja, királis is lehet. Számolásunk szempontjából nem számít ‘, de jegyzetelni akartam.

Kiszámíthatjuk a nem számot. optikai izomerek egyenes láncú molekulákhoz, páros és páratlan sz. a Chiral központok szimmetriák megfigyelésével és egyszerű matematikai logika segítségével. Röviden részletezem még a nemet is. központok. Páratlan esetek hasonló ötlet alapján is kiszámíthatók.

Molekula még nem. a királis szén-dioxid-központok száma, ahol a molekula két egyenlő félre osztható

A teljes sz. az optikai izomerek közé tartozik a Meso formák és az enantiomer párok kiszámítása. Ebben az esetben (és a királis szénközpontok páratlan száma esetén is) a mezo formák kiszámítása nagyon egyszerű.

Számszám kiszámításához A mezo izomerek közül vegyünk figyelembe egy általános egyenes láncú molekulát, amelynek még nincs is. királis központok (mondjuk $ n = 2k $), az alábbiak szerint,

A csoportok ($ A_i $, $ \ forall i = 1,2, …, 2k + 1 $) úgy vannak elrendezve, hogy általában meso vegyületet képviseljenek.
Most vegye figyelembe, hogy $ k $ th és $ k + 1 $ szénatom között egy képzeletbeli sík segítségével a molekula két egyenlő félre osztható. Ezért a fenti molekula összességében Meso-vegyület. .
Tehát csak a felső $ k $ vagy az alacsonyabb $ k $ szénatom konfigurációját változtathatjuk meg, hogy új Meso vegyületet alkossunk, mert a szimmetrikus szénatom konfigurációja automatikusan megváltozik a szimmetrika fenntartása érdekében.
Most módosíthatunk $ 0 $ atomot (azaz a kiindulási vegyületünket) $ 1 $ szénatomot vagy $ 2 $ atomot vagy $ 3 $ atomot és így tovább, akár $ k $, és így ténylegesen kiszámoljuk mindegyik izomer kétszer. Mivel a $ k-1 $ atomok inverziója nem más, mint a $ 1 $ atom ($ k $ th atom) inverziójának tükörképe, amelyet már korábban figyelembe vettünk.
Így a Meso-vegyületek száma összesen = $$ \ frac {\ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k}} {2} = 2 ^ {k-1} = 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $$, amely megadja az eredményt.

Most enantiomer párok , javítsa ki az első Chiral Carbon központot ($ \ ce {C_1} $), mert ha nem javítjuk, akkor a tükörképeket is megszámoljuk, amelyeket nem akarunk megszámlálni párok. Javítsa meg szimmetrikusan ellentétes szénatomját ($ \ ce {C_ {2k}} $) a $ \ ce {C_1} $ -val ellentétes relatív konfigurációként, azaz bal oldalon $ A_3 $ és jobb oldalon $ A_2 $. Így: a fennmaradó $ n-2 $ központ $ 2 ^ {n-2} $ módon orientálható, és mindegyikük optikailag aktív izomer lesz, és nincsenek tükörképek sem. Így az enantiomer párok értéke = $ 2 ^ {n-2} $ lesz.
Tehát, összesen.az optikai izomerekből = $ 2 \ szor 2 ^ {n-2} + 2 ^ {\ frac {n} {2} -1} $ = $ 2 ^ {n-1} + 2 ^ {\ frac {n} {2 } -1} $

For, páratlan nem. szénatomok esetében szintén hasonló elképzelést lehet alkalmazni. Ha $ n = 2k + 1 $ -t vesz, akkor nem. mezomizomerek száma lesz, $$ \ binom {k} {0} + \ binom {k} {1} + …. + \ binom {k} {k} = 2 ^ k = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} $$ A mögötte lévő logika és a fennmaradó rész az olvasó számára marad a gondolkodásra …

Megjegyzések

• az enantiomerek kiszámítása során miért rögzítette a C1 relatív konfigurációját a C2k-vel ellentétben?
• @shreya A C1 relatív konfigurációjának rögzítését azért kell elvégezni, mert valójában pontosan meg akarjuk számlálni a különféle enantiomer párokat , és a különálló párok kiszámítása után megszorozhatjuk 2-vel, hogy teljes enantiomereket kapjunk. Ez a rögzítési koncepció alapvetően hasonló az emberek permutációihoz egy kerek asztal körül, ha alaposan átgondolja. Ha megérti a kerek asztal körüli permutációkat, ez a probléma valójában nagyon hasonló. És a molekulának összességében két egyenlő félre oszthatónak kell lennie, ezért a rögzítést a C2k esetében is el kell végezni.