Estoy tratando de averiguar cuál es la transformada de Fourier de una señal constante y, por alguna razón, llego a la conclusión de que la respuesta es 1. O mejor aún, una función de paso.
Comentarios
- la Transformada de Fourier continua de una constante es no 1 (una constante) , pero es una función delta de dirac. $$ \ mathscr {F} \ {C \} = C \ cdot \ delta (f) $$ y eso no es 1.
- esto de SE en realidad impone una limitación de longitud (olvidé cuántos caracteres). que ' es una de las cosas más molestas de SE.
- ¿Eh? $ {} {} {} {} {} $
- @ robertbristow-johnson Los comentarios deben tener al menos 15 caracteres, pero como mi ¿Eh? Como se ilustra arriba, uno puede evitar el requisito rodeando pares de {} con signos de dólar.
- @DilipSarwate, las respuestas deben tener al menos 30 caracteres. Es ' planteo que mi comentario tenía más de 30 caracteres. pero todavía era demasiado trivial para merecer una respuesta. {} {} lo que realmente me molesta es, cuando estoy en el meta sitio, que la copia del bot de SE ' edita mi respuesta y, debido a la concisión o la falta de mayúsculas, dice que el la calidad de mi respuesta no es suficientemente buena. ese ' s cuando me gustaría patear el trasero metálico de ese '.
Responder
Completaré un poco la respuesta dada en un comentario anterior.
Intuitivamente primero, a qué frecuencia corresponde una constante de señal en el tiempo, por ejemplo $ x (t) = 1 $ $ \ forall t $? Tal señal no muestra variación en el tiempo y, por lo tanto, contiene solo un componente con frecuencia 0 (esta es una señal de CC). Esto significa que su transformada de Fourier debe ser 0 en todas partes, excepto en $ f = 0 $. Matemáticamente, $$ X (f) = \ delta (f). $$ Ahora, ¿podemos probar esto? Sí, simplemente tome la transformada de Fourier inversa de $ \ delta ( f) $ y usa las propiedades del delta de Dirac $ \ delta (f) $ $$ x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) e ^ {j2 \ pi ft} \ mathrm {d} f = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) \ mathrm {d} f = 1. $$
Respuesta
Las transformadas de Fourier (son una legión) reflejan de alguna manera la amplitud de los senos (complejos) en los datos. Una señal plana " debe " solo tener amplitudes distintas de cero en la $ 0 $ th frecuencia, y $ 0 $ amplitud en los demás. Pero, ¿a qué llamamos señal plana? Me limitaré a dos aceptaciones comunes.
- En el tiempo continuo, la señal se propaga desde $ – \ infty $ a $ \ infty $ , y una transformada de Fourier de tiempo continuo transforma naturalmente esta extensión infinita en una amplitud infinita en el $ 0 $ th frecuencia, teóricamente convertida en una distribución, denotada por la función Dirac $ \ delta $ , según la respuesta de @anpar
- En un intervalo delimitado espacialmente (como una imagen de valores constantes), ya sea continua o discreta, asumiendo la periodicidad para mantener cierta planitud (usando la serie de Fourier o la transformada discreta de Fourier), obtienes una constante finita en $ 0 $ frecuencia, y cero en cualquier otro lugar.
Esta constante finita depende de cómo normalice su transformada de Fourier.
Finalmente, en una señal de muestra única, la DFT o FFT de hecho te da una constante " Fourier " transformación:
fft (1)
ans = 1