Próbuję dowiedzieć się, czym jest transformata Fouriera stałego sygnału iz jakiegoś powodu dochodzę do wniosku, że odpowiedź to 1. Lub jeszcze lepiej funkcja skokowa.
Komentarze
- ciągła transformata Fouriera stałej wynosi nie 1 (stała) , ale jest funkcją delta Diraca. $$ \ mathscr {F} \ {C \} = C \ cdot \ delta (f) $$ a to nie jest 1.
- ta rzecz SE faktycznie nakłada ograniczenie długości (zapomniałem, ile znaków). że ' jest jedną z irytujących rzeczy w SE.
- Hę? $ {} {} {} {} {} $
- @ robertbristow-johnson Komentarze muszą mieć co najmniej 15 znaków, ale jako moje, co? powyżej ilustruje, że nadal można obejść to wymaganie, otaczając pary {} znakami dolara.
- @DilipSarwate, odpowiedzi muszą mieć co najmniej 30 znaków. W ' pozuję, że moja opinia była dłuższa niż 30 znaków. ale zasługiwanie na odpowiedź było nadal zbyt trywialne. {} {} naprawdę przeszkadza mi to, że kiedy jestem na meta stronie, kopia bota SE ' edytuje moją odpowiedź i ze względu na zwięzłość lub brak wielkich liter mówi, że jakość mojej odpowiedzi nie jest wystarczająco dobra. to ' kiedy chciałbym skopać tego robota ' z metalowego tyłka.
Odpowiedź
Uzupełnię nieco odpowiedź podaną w powyższym komentarzu.
Najpierw intuicyjnie, której częstotliwości odpowiada stała sygnału w czasie, na przykład $ x (t) = 1 $ $ \ forall t $? Taki sygnał nie wykazuje żadnych zmian w czasie i dlatego zawiera tylko składową o częstotliwości 0 (jest to sygnał DC). Oznacza to, że jego transformata Fouriera musi wynosić 0 wszędzie, z wyjątkiem $ f = 0 $. Matematycznie, $$ X (f) = \ delta (f). $$ Czy możemy to udowodnić? Tak, po prostu weź odwrotną transformatę Fouriera z $ \ delta ( f) $ i użyj właściwości delta Diraca $ \ delta (f) $ $$ x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) e ^ {j2 \ pi ft} \ mathrm {d} f = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) \ mathrm {d} f = 1. $$
Odpowiedź
Przekształcenia Fouriera (jest ich legion) w jakiś sposób odzwierciedlają amplitudę (zespolonych) sinusów w danych. Płaski sygnał " powinien " mieć niezerowe amplitudy tylko na $ 0 $ tej częstotliwości i 0 $ amplitudy na pozostałych. Ale co nazywamy płaskim sygnałem? Ograniczę się do dwóch typowych akceptacji.
- W czasie ciągłym sygnał rozprzestrzenia się od $ – \ infty $ do $ \ infty $ , a ciągła transformata Fouriera w sposób naturalny przekształca tę nieskończoną rozpiętość w nieskończoną amplitudę przy 0 $ częstotliwość, teoretycznie zamieniona w rozkład, oznaczona funkcją Diraca $ \ delta $ , na co odpowiada @anpar
- W przedziale ograniczonym przestrzennie (jak obraz o stałej wartości), ciągły lub dyskretny, zakładając okresowość w celu zachowania pewnej płaskości (przy użyciu szeregu Fouriera lub dyskretnej transformaty Fouriera), uzyskuje się stałą skończoną przy $ 0 $ częstotliwości i zero gdzie indziej.
Ta skończona stała zależy od tego, jak normalizujesz transformację Fouriera.
Wreszcie, w sygnale jednopróbkowym, DFT lub FFT rzeczywiście daje stałą " Fourier " transformacja:
fft (1)
ans = 1