Jeg prøver å finne ut hva Fourier-transformasjonen av et konstant signal er, og av en eller annen grunn kommer jeg til at svaret er 1. Eller enda bedre en trinnfunksjon.
Kommentarer
- den kontinuerlige Fourier-transformasjonen av en konstant er ikke 1 (en konstant) , men er en dirac delta-funksjon. $$ \ mathscr {F} \ {C \} = C \ cdot \ delta (f) $$ og det er ikke 1.
- denne SE-tingen pålegger faktisk en lengdebegrensning (jeg glemte hvor mange tegn). at ' er noe av det irriterende med SE.
- Hva? $ {} {} {} {} {
- @ robertbristow-johnson Kommentarer må ha minst 15 tegn, men som min, ikke sant? ovenfor illustrerer, kan man fremdeles komme rundt kravet ved å omslutte par med {} med dollartegn.
- @DilipSarwate, svarene må være minst 30 tegn. jeg er ' at kommandoen var lenger enn 30 tegn. men det var fortsatt for trivielt å fortjene et svar. {} {} Det som virkelig plager meg er, når jeg er på metasiden, at SE ' s botkopi redigerer svaret mitt, og på grunn av tøffhet eller manglende hovedsteder sier kvaliteten på svaret mitt er ikke bra nok. at ' s når jeg vil sparke den bot ' s metallrumpe.
Svar
Jeg fullfører litt svaret gitt i en kommentar ovenfor.
Intuitivt først, hvilken frekvens tilsvarer en signalkonstant i tid, for eksempel $ x (t) = 1 $ $ \ for all t $? Et slikt signal viser ingen variasjon i tid og inneholder derfor bare en komponent med frekvens 0 (dette er et DC-signal). Dette betyr at dets Fourier-transform må være 0 overalt, unntatt i $ f = 0 $. Matematisk, $$ X (f) = \ delta (f). $$ Kan vi nå bevise dette? Ja, bare ta den inverse Fourier-transformasjonen av $ \ delta ( f) $ og bruk egenskapene til Dirac delta $ \ delta (f) $ $$ x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) e ^ {j2 \ pi ft} \ mathrm {d} f = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) \ mathrm {d} f = 1. $$
Svar
Fourier-transformasjoner (de er legioner) gjenspeiler på en eller annen måte amplituden til (komplekse) sines i data. Et flatt signal " skal " bare ha amplituder som ikke er null på $ 0 $ frekvens, og $ 0 $ amplitude på de andre. Men hva kaller vi et flatt signal? Jeg vil begrense til to vanlige aksepter.
- I kontinuerlig tid sprer signalet seg fra $ – \ infty $ til $ \ infty $ , og en kontinuerlig Fourier-transformasjon forvandler naturlig denne uendelige spredningen til en uendelig amplitude ved $ 0 $ frekvens, teoretisk omgjort til en distribusjon, betegnet med Dirac $ \ delta $ -funksjonen, som besvart av @anpar
- I et romlig avgrenset intervall (som et bilde med konstant verdi), enten kontinuerlig eller diskret, forutsatt periodisitet for å opprettholde litt flathet (ved bruk av Fourier-serien eller den diskrete Fourier-transformasjonen), får du en endelig konstant ved $ 0 $ frekvens og null andre steder.
Denne endelige konstanten avhenger av hvordan du normaliserer Fourier-transformasjonen din.
Til slutt, på et enkelt-prøvesignal, DFT eller FFT gir deg faktisk en konstant " Fourier " transform:
fft (1)
ans = 1