Estou tentando descobrir o que é a transformada de Fourier de um sinal constante e, por algum motivo, estou chegando à conclusão de que a resposta é 1. Ou melhor ainda, uma função de etapa.
Comentários
- a transformada de Fourier contínua de uma constante não 1 (uma constante) , mas é uma função delta dirac. $$ \ mathscr {F} \ {C \} = C \ cdot \ delta (f) $$ e isso não é 1.
- essa coisa SE na verdade impõe uma limitação de comprimento (esqueci quantos caracteres). essa ' é uma das coisas irritantes do SE.
- Hein? $ {} {} {} {} {} $
- @ robertbristow-johnson Os comentários precisam ter pelo menos 15 caracteres, mas como meu Hein? ilustrado acima, ainda é possível contornar o requisito circundando pares de {} com cifrões.
- @DilipSarwate, as respostas devem ter pelo menos 30 caracteres. i s ' pose que meu comentário tinha mais de 30 caracteres. mas ainda era trivial merecer uma resposta. {} {} o que realmente me incomoda é, quando estou no meta site, que a cópia do bot SE ' s edita minha resposta e, devido à concisão ou falta de maiúsculas, diz que o a qualidade da minha resposta não é boa o suficiente. que ' é quando eu gostaria de chutar aquele bot ' bunda de metal.
Resposta
Vou completar um pouco a resposta dada no comentário acima.
Primeiro, intuitivamente, a qual frequência corresponde uma constante de sinal no tempo, por exemplo $ x (t) = 1 $ $ \ forall t $? Tal sinal não mostra variação no tempo e, portanto, contém apenas um componente com frequência 0 (este é um sinal DC). Isso significa que sua transformada de Fourier deve ser 0 em todos os lugares, exceto em $ f = 0 $. Matematicamente, $$ X (f) = \ delta (f). $$ Agora, podemos provar isso? Sim, simplesmente pegue a transformada inversa de Fourier de $ \ delta ( f) $ e use as propriedades de Dirac delta $ \ delta (f) $ $$ x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) e ^ {j2 \ pi ft} \ mathrm {d} f = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f) \ mathrm {d} f = 1. $$
Resposta
As transformadas de Fourier (são legiões) refletem de alguma forma a amplitude dos senos (complexos) nos dados. Um sinal plano " deve " ter amplitudes diferentes de zero na $ 0 $ a frequência, e $ 0 $ amplitude nas outras. Mas o que estamos chamando de sinal plano? Vou restringir a duas acepções comuns.
- No tempo contínuo, o sinal se espalha de $ – \ infty $ para $ \ infty $ , e uma transformação de Fourier de tempo contínuo naturalmente transforma essa extensão infinita em uma amplitude infinita em $ 0 $ a frequência, teoricamente transformada em uma distribuição, denotada pela função Dirac $ \ delta $ , conforme respondido por @anpar
- Em um intervalo espacialmente limitado (como uma imagem de valor constante), contínua ou discreta, assumindo periodicidade para manter alguma planicidade (usando a série de Fourier ou a transformação discreta de Fourier), você obtém uma constante finita em $ 0 $ frequência e zero em outro lugar.
Essa constante finita depende de como você normaliza sua transformada de Fourier.
Finalmente, em um sinal de amostra única, o DFT ou FFT realmente dá a você um " Fourier " transformação:
fft (1)
ans = 1